同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日(修改稿)

同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日（修改稿）同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）第一讲高等数学学习介绍、函数教学目的：了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。重难点：数学新认识，基本初等函数，复合函数教学程序：数学的新认识—函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—复合函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。（用变化的观点定义函数），记：)(xfy（说明表达式的含义）同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。(2)值域：函数值的集合，即}),({Dxxfyy。例1、求函数)1ln(2xy的定义域？2、函数的图像：设函数)(xfy的定义域为D，则点集}),(),{(Dxxfyyx就构成函数的图像。例如：熟悉基本初等函数的图像。3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。例2、作函数0,20,)(2xxxxxf的图像？例3、求函数?)1(),0(),1(010)(2fffxxxxf的定义域及函数值，，三、基本初等函数熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。四、复合函数：设y=f(u),u=g(x)，且与x对应的u使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x的复合函数，u称为中间变量。说明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。如：2,lnxuuy就不能构成复合函数。(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。例5、设?))(()),((,2)(,)(2xfgxgfxgxxfx求例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？(1))ln(sin2xy(2)xey2(3)xy2arctan1五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一个表达式所表示。说明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但xy是初等函数；（2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。思考题：1、确定一个函数需要有哪几个基本要素？[定义域、对应法则]2、思考函数的几种特性的几何意义？[奇偶性、单调性、周期性、有界性]3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）探究题：一位旅客住在旅馆里，图1—5描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图1—5标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？小结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。作业：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）课堂练习（初等函数）【A组】1、求下列函数的定义域？(1)12xy(2)xey(3)2logy(x-1)(4))4ln(12xxxy2、判定下列函数的奇偶性？(1))()(xfxfy(2)xxeey(3)为自然数）nxyn(123、作下列函数的图像？(1)112xxy(2)xey(3)xysin4、分解下列复合函数？(1)12xy(2)xeysin(3)xy3sin11(4))(cosln2xy【B组】1、证明函数)1ln(2xxy为奇函数。2、将函数121xxy改写为分段函数，并作出函数的图像？图1—5时间同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）3、设)(,1)1(22xfxxxxf求？4、设)(xf=x11，求)]([xff，)]([xfff？数学认识实验：初等函数图像认识1、幂函数：（如32,,xyxyxy）2、指数与对数函数：（如xyeyxln,）-2-112X-1-0.50.511.52Y-2-11234X-1123Y3、三角函数与反三角函数：（xyxyarccos,cos）4、多项式函数：（333123xxxy）-3-2-1123X-1123Y-4-2246-20-101020y13x3x23x35、分段函数：（xyxysgn,）同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）-1-0.50.510.20.40.60.81-2-112-1-0.50.51同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）第二讲导数的概念（一）、极限与导数教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。重难点：求极限，导数定义及由定义求导法教学程序：极限的定义及求法（例）—导数的引入（速度问题）—导数的概念—导数与极限—基本初等函数的导数（定义法）—例子（简单）授课提要：前言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。一、理论基础——极限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若)(xf为多项式，则)()(lim00xfxfxx例1：求下列极限(1))12(lim21xxx(2))12(lim20xxx(3))12(lim22xxx（2）若)()(xgxf为有理分式且0)(0xg,则)()()()(lim000xgxfxgxfxx（代入法）例2：求下列极限(1)121lim1xxx(2)322lim220xxxx(3)11lim21xxx（3）若分式)()(xgxf,当0xx时，0)()(00xgxf，则用约去零因子法求极限例3：求下列极限(1)11lim21xxx(2)138lim1xxx(3)132lim21xxxx（4）若分式)()(xgxf,当x时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。例4：求下列极限同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）(1)121lim22xxx(2)1512lim22xxxx(3)121lim2xxx3、两个重要极限（1）1sinlim0xxx（2）exexxxxx10)1(lim)11(lim或说明：其中x可以是)(xu的形式，且当0x时，0)(xu。例5：求下列极限(1)xxx3sinlim0(2)xxx5sin3sinlim0(3)xxx10)31(lim(4)xxx)31(lim二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动221gts）引例2、切线问题（曲线2xy）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y关于自变量x在某一点0x处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1、自变量x作微小变化x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率xyy，作为点0x处变化率的近似值；2、对y求x0的极限xyx0lim，若它存在，这个极限即为点0x处变化率的精确值。定义：设函数)(xfy在0x点及附近有定义，当x在0x点取得增量x时，相应函数取得增量)()(00xfxxfy，若当0x时，比值xy的极限存在，则称此极限值为)(xf在0x处的导数或微商。记00)(xxdxdyxf或，即xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(说明：(1)比值xy是函数)(xf在],[00xxx上的平均变化率；而)(0xf是)(xf在0x处的变化率，它反映函数在点0x随自变量变化的快慢程度；同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）(2)若xyx0lim不存在（包括），则称)(xf在0x点不可导；(3)若)(xf在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记)(xf，称为导函数，简称导数。(4)f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值，f(x)在点0x处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值。三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-有极限，反之不成立。四、基本初等函数的导数（定义）由定义知求函数导数的步骤：（三步骤）（1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。例6、由定义求函数Cy的导数？例7、由定义求函数xysin的导数？（推导）思考题：1、xxxsinlim是否存在，为什么？[0]2、若曲线y=3x在),(00yx处切线斜率等于3，求点),(00yx的坐标。3、已知xxcos)'(sin，利用导数定义求极限xxx1)2πsin(lim0。[0]探究题：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法”有什么体会？[近似转化为精确的数学方法]小结：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。作业：P22（A：1-3；B：3-4）同济大学《高等数学》授课教案总学时64学时（XRG）课堂练习（导数的概念一）【A组】1、求下列极限(1)2230)32()12()1(limxxxx(2)11lim21xxx(3)321lim22xxxx（4）xxx2arcsinlim0（5）xxx10)21(lim（6）xxx2arccoslim2、求极限523)32()12()1(limxxxx？3、求极限：dbxxxa)1(lim？[abe]4、已知1)12(lim2xxaxxx，求a的值？[2]5、用导数定义，求函数1)(2xxf在x=1处的导数？6、设物体的运动方程为32ts，求(1)物体在t=2秒和t=3秒间的平均速度？(2)求物体在t=2秒时的