第一章 集合与常用逻辑用语集合

●课程标准一、集合1．集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2．集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集、交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．二、常用逻辑用语1．命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．2．简单的逻辑联结词通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．●命题趋势1．集合的概念与运算，主要从以下三个方面考查：一是对集合基本概念的认识和理解水平，如集合的表示法、元素与集合的关系、集合与集合的关系、集合的运算；二是以集合为工具考查对集合语言和集合思想的应用水平，在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力；三是以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力．这一部分命题保持相对稳定，主要是简单的概念与运算的选择题，有时会以集合为载体考查函数的定义域、值域、方程与不等式及与解析几何联系的中档题．2．充要条件的判断与命题的关系是考查的主要方向，主要用客观题考查，在大题中会和其它知识结合，以载体形式出现．3．逻辑联结词、存在量词、全称量词，一般不会单独命题，通常会在题目中间接考查，若单独命题，则是简单的客观题．●复习指南1．集合的复习应抓好基本概念与运算的落实和对集合语言的识读理解能力．建议重点训练一下集合的运算及其与新定义题型、解析几何的嫁接．2．常用逻辑用语复习时，要掌握各种逻辑用语的含义、表示方法、用法及注意事项，理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握四种命题的内在联系，熟练判断充要条件．主要进行客观题训练，注意解答题中关键的联结词.重点难点重点：①理解集合、子集的概念②了解空集的概念和意义③了解属于、包含、相等关系的意义④理解集合的交、并、补概念及性质⑤会用韦恩图及数轴解有关集合问题难点：子集与真子集、属于与包含关系、交集与并集之间的区别与联系．知识归纳1．集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．其中每个对象叫做集合中的元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．(2)集合有三种表示方法：、、还可以用区间来表示集合．(3)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用∈和∉来表示．(4)不含任何元素的集合叫空集，用∅表示．列举法描述法图示法．2．集合之间的关系(1)若集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作.(2)由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B.若x∈A∩B，则x∈Ax∈B.(3)由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.若x∈A∪B，则x∈Ax∈B.(4)若已知全集U，集合A⊆U，则∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．A⊆B属于集合A且属于集合B且属于集合A或属于集合B或3．集合中的常用性质(1)A⊆B，B⊆A，则AB；A⊆B，B⊆C，则AC；(2)∅⊆A，若A≠∅，则∅A；(3)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(4)A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪∅＝A；(5)A∩∁UA＝，A∪∁UA＝；(6)A∩B⊆A⊆A∪B；(7)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；(8)A⊆B⇔A∩B＝⇔A∪B＝.＝⊆∅UAB误区警示1．集合中元素的互异性如：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{x|x＝a·b，“·”为通常的乘法运算，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,4}，Q＝{1,2,6}，则P*Q中元素的个数是()A．9B．8C．7D．6解析：由题意可知P*Q＝{0,2,4,8,12,24}．故选D.2．区分数集与点集以数或点为元素的集合分别叫做数集或点集．这是我们研究的主要对象，研究集合必须搞清集合中的元素是什么．3．解集合之间的关系题时，不要忘了空集，正确区分交集与并集、子集与真子集4．解决集合的子集、交集、并集、补集关系问题时，要特别注意区间端点的值能否取到．你会求解下列问题吗？集合A＝{x|－2≤x1}．(1)若B＝{x|xm}，A⊆B，则m的取值范围是______．(2)若B＝{x|xm}，A⊆B，则m的取值范围是______．答案：(1)m－2(2)m≥11．“数形结合”思想(1)准确把握集合元素的特征性质，把集合用数轴、几何图形、Venn图等直观表示，可方便地获得问题的解决．(2)关于不等式的解集的关系及运算借助数轴讨论尤其方便2．子集个数问题[例]集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则集合A的子集的个数为()A．4B．16C．15D．无数个分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后根据公式2n求出子集个数．解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时，30°的角可以是三角形的底角，也可以是顶角．故这样的三角形有两个．边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30°的角可以是三角形底角，也可以是顶角，故这样的三角形也有两个．故适合条件的三角形共有4个．所以子集个数为24＝16个．选B.点评：关于有限集的子集个数有如下结论：(1)若A＝{a1，a2，…，an}，则A的子集个数为2n，其中含有m(m≤n)个元素的子集个数为Cnm个，A的真子集个数为2n－1，A的非空真子集个数为2n－2个．(2)若{a1，a2…，am}⊆A⊆{a1，a2…，am，am＋1，…，an}，则A的个数为2n－m个，若{a1，a2，…，am}A⊆{a1，a2，…，am，am＋1，…，am}则A的个数为2n－m－1个，若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}则A的个数为2n－m－2个．(3)若{a1，a2，…，am}∪B＝{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}，则B的个数为2m个．[例1]设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≥0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是()A．m－1且n5B．m－1且n5C．m－1且n5D．m－1且n5分析：准确理解集合元素的特征性质和集合中的元素与集合的关系、补集和交集的概念是正确解题的前提．若点P∈A，则点P的坐标满足集合A中元素的特征性质．解析：∵P∈A，∴m－1，又∁UB＝{(x，y)|x＋y－n0}，P∈∁UB，∴n5，故选D.答案：D点评：一般地，若a∈A，则元素a一定满足集合A中元素的共同属性．(09·北京)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：根据题意不含孤立元的集合中，每个元素必须有与其相邻的元素．则满足条件的集合只能是{1,2,3}、{2,3,4}、……、{6,7,8}共6个．答案：6[例2]已知全集I＝R，集合M＝{x||x|2，x∈R}，P＝{x|xa}，并且M∁IP，那么a的取值集合是()A．{2}B．{a|a≤2}C．{a|a≥2}D．{a|a2}解析：∵M＝{x||x|2}＝{x|－2x2}∁IP＝{x|x≤a}M∁IP，∴a≥2，如下图数轴上所示．故选C.答案：C点评：1.一般地，在处理带参数的不等式解集之间的关系时，要把所涉及的集合表示在数轴上，借助其直观性正确判定．要特别注意是否包括分界点即a＝2.2．集合运算与不等式的联系是近年来高考的主要题型(2010·广东省高考调研)集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝∅解析：∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴PQ，∴选B.答案：B[例3]已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a≥2D．a2解析：∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A∪(∁RB)＝R，利用数轴可得a≥2，故选C.答案：C点评：解答集合运算的题目，要紧扣交、并、补运算的定义求解．(2010·镇海中学)设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2－40}，N＝{x|(x－2)21}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2x≤1}B．{x|1x≤2}C．{x|－2≤x≤1}D．{x|x≥3}解析：Venn中的阴影部分在集合M中，不在集合N中，故所表示的集合为M∩∁UN.∵M＝{x|x2－40}＝{x|－2x2}，N＝{x|(x－2)21}＝{x|1x3}，∴M∩∁UN＝{x|－2x≤1}，故选A.答案：A[例4]设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：Ai⊕Aj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数，i、j＝0、1、2、3，则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由⊕的定义知，A0⊕A2＝A2，A1⊕A2＝A3，A2⊕A2＝A0，A3⊕A2＝A1，A0⊕A0＝A0，A1⊕A1＝A2，A3⊕A3＝A2，∵(x⊕x)⊕A2＝A0，∴x⊕x＝A2，所以x＝A1或A3.答案：B点评：解答新定义题型，一定要先弄清新定义所提供的信息的含义，进行必要的提炼加工，等价转化为学过的知识，然后利用已掌握知识方法加以解答．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512解析：此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M∩N，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M∩N呢？若真这样理解的话，就走弯路了．其实，根本用不着求M∩N；集合M的“长度”是34，由于m是一个变量，因此，这个长度为34的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N的长度为13且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M∩N的“长度”的最小值即为13－1－34＝112，故选C.答案：C点评：该题立意新颖，背景公平．对考生的思维能力和分析解决问题能力有较高的区分度.[例5]已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}，B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{x|x－2y＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}．(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B.解析：(1)B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}＝{(x，y)|(x－2y)(x＋y)＝0}＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}，∴DB，集合B、D与集合C无任何关系．(2)A∩B＝{(x，y)|x2－y2－y＝4且x2－xy－2y2＝0}＝x，yx2－y2－y＝4x－2y＝0∪x，yx2－y2－y＝4x＋y＝0＝83