第三章 积分变换法举例-5

深圳大学电子科学与技术学院第三章：积分变换法深圳大学电子科学与技术学院§3.5积分变换法举例第三章：行波法与积分变换法深圳大学电子科学与技术学院•一维波动方程的达朗贝尔公式•三维波动方程的定解问题•拉普拉斯变换法•傅立叶变换法•积分变换法举例本章内容提要:参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院把函数经过积分的手段变为另一类函数:称为象函数，称为原函数，称为积分变换的核。dttKtfFba),()()()(tf)(F)(tf),(tK什么是积分变换？深圳大学电子科学与技术学院(求解微分方程)原空间：常微分方程偏微分方程象空间：代数方程常微分方程求解象空间的代数方程或常微分方程，得到象函数，再将它“反演”成原函数(即为所求的解）。积分变换法在求解常微分方程和偏微分方程的定解问题中有非常广泛的应用。什么是积分变换法？深圳大学电子科学与技术学院•Fourier积分变换法•Laplace积分变换法•混合变换法用来解常微分方程将未知函数的常微分方程，化成象函数的代数方程，达到消去对自变量求导运算的目的。用来解偏微分方程通过选取积分变换在工程力学、电磁场理论、光学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、核科学与技术、地震资料数据处理…等方面，均有广泛的应用。在偏微分方程的两端，对某个变量取变换，消去未知函数对该自变量求偏导的运算，得到象函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程只包含两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程。Fourier积分变换Laplace积分变换变量的初值问题。适用于针对空间傅立叶积分变换：量的边值问题。适用于针对时间变拉普拉斯积分变换：数学中的变换手段，旨在化繁为简.深圳大学电子科学与技术学院傅里叶变换与拉普拉斯变换的最重要的用途是求解微分方程深圳大学电子科学与技术学院dtxututxutxutxudxetxutUdxexfFxixi),(),(),(),(),(),(),()()(2121傅里叶变换拉普拉斯变换关于x的傅氏变换关于t的拉氏变换dtxuxutxutxutxudtetxupxUdtetfpFptpt0212100),(),(),(),(),(),(),()()(关于x的傅氏反演关于t的拉氏反演惯用表示深圳大学电子科学与技术学院)(0),()(0022222xtuxuxxuatutt),(),(),(),(2tUtxutUtxu0dd),(),(d),(d002222tttUUtUattU解：对（1）两边关于x进行傅里叶变换（将t视为参数）)()(x)cos()(),(tatU（1）例题1：无界波动方程1深圳大学电子科学与技术学院detUtxudxetxutUxixi),(21),(),(),()()(21)(21)(2121)()(412)(21)cos()(21),()()(atxatxdededeedeedeeedetatxuatxiatxixitiaxitiaxitiatiaxi)cos()(),(tatU（零速度的达朗贝尔公式）反演(解1):深圳大学电子科学与技术学院)cos()(),(tatU)()(21)(21)(21212)(21)cos()(21),(atxatxdeedeedeeedetatxuxitaixitaixitiatiaxi)()(Fexfi位移性质:反演(解2):深圳大学电子科学与技术学院xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,,22222)()(Fxf)()('Fixf)()(2Fxf),(d)0,(d),()0,(0),,(d),(d2222tUUttUattU例题2：无界波动方程2解：利用傅立叶变换的性质，两边对x取变换taBtaAtUsincos),((,0)()UA()(,)()cossinUtatata()Ba深圳大学电子科学与技术学院()(,)()cossinUtatataieeaeetiatiatiatia2)(2)(tiatiatiatiaeieiaee)()(21)()(21d)(d)(21)()(21),(00atxatxaatxatxtxud)(21)()(21atxatxaatxatx)()(FexfiiFxxfx)(d)(0深圳大学电子科学与技术学院解：对（1）两边关于x作傅里叶变换（2）是关于t的常微分方程，两边关于t作拉普拉斯变换xxxutxtxfxuatu),()0,(0,),,(222),()0,(0),,(),(d),(d22UttFtUattU),(),()(),(22pFpUappU222222),()(),()(),(appFapappFpU（1）（2）例题3：有源热传导方程深圳大学电子科学与技术学院2222),()(),(appFappU22122apetadeFeetFetUtattatata)(022222222),()(),()(),(tataxeeta2222421拉氏反演：傅氏反演：d),(121)(21d)(21),(21)(),(0)(4)(4)(0)(4422222222ttaxtaxttaxtaxdeftadetaetaxfetaxtxu（查表）现在反演：深圳大学电子科学与技术学院求解常微分方程的定解问题：解：对方程两边取拉普拉斯变换，并利用初始条件：这是象函数的代数方程（初始条件已含其中）将初始条件的取值代入：1,03200tttyyeyyy11)(3)0()(2)0()0()(2ppYyppYypypYp11)(3)(21)(2ppYppYpYp例题4：常微分方程深圳大学电子科学与技术学院11)(3)(21)(2ppYppYpYp318111831141)3)(1)(1(2)32)(1(2)(2ppppppppppppY)3exp(81)exp(83)exp(41)(tttty解出：反演：深圳大学电子科学与技术学院求解半无限长细杆热传导的定解问题：解：对(1)和(3)两边取t的拉氏变换，并利用(2)：这是象函数的常微分方程的边值问题。)0()()0(0)0,0(00222ttfuxutxxuatuxt)(),0(),(),(222pFpUdxpxUdapxpU(1)(2)(3)(4)(5)例题5：半无限热传导问题深圳大学电子科学与技术学院(4)的通解为：自然边界条件：再利用条件（5）：反演：xapCxapCpxU2221expexp),()(),0(),(),(222pFpUdxpxUdapxpU(4)(5)0),(),(1CpUtuxappFpxU2exp)(),(xaptaxtax222exp4exp223（查表）dtaxtfaxtaxtaxtftxut)(4exp)(1)(24exp2)(),(220222323深圳大学电子科学与技术学院变量x变化范围：，原则上可以对x用拉普拉斯变换，这样(1)变成：这是关于t的常微分方程，但条件不够，无法求解。)0()()0(0)0,0(00222ttfuxutxxuatuxt0dx(1)(2)(3)0022'),(),(xxuputpUpadttpdU未知讨论：可否对x作拉氏变换？深圳大学电子科学与技术学院12(,)yyUyCeCe解：对x作付氏变换：)()0,(0),(),(222FUyyUyU0),(),(2CyUxu(3)和(4)的通解为：自然边界条件：再利用条件（4）：（1）（2）（3）（4）yeFyU)(),(xuxfxuyxyuxuy,)()0,(0,02222有界，，例题6：上半平面的拉氏方程深圳大学电子科学与技术学院(,)()yUyFe现在反演：利用原函数：yeyxy221dyxyfyxyxfeFFyUFyxuy222211)()(11)()()],([),(深圳大学电子科学与技术学院dyxyfyxu22)()(1),(00yu)(0xfuy？0y)()(220limxyxyy)()()()0,(xfdxfxu一个公式：220lim1)(xx如何给出边界函数？深圳大学电子科学与技术学院求解非齐次波动方程的定解问题解：对t求拉氏变换并利用初始条件得：上式对x求傅氏变换：xxttxuxtxutxxtxututt,sin),(,0),(0,,sin0022222222sind),(dsin),(pxxpxUxpxUp)1()1(j1),()1()1(j),(222ppUpUpxsin例题7：非齐次波动方程深圳大学电子科学与技术学院222)1()1(j11),(pppU1222)1()1(j1)1()1(j11),(ppppU上式取非零值的条件是进行拉氏和傅氏变换的反演，结果为：xttxusin),(解出：深圳大学电子科学与技术学院求解有界细杆热传导的定解问题：解：对(1)两边取t的拉氏变换，并利用(3)：这是象函数的常微分方程的边值问题。2sin6,0,0)0(00222xuuuLxxuatutLxx0),(,0),0(),(2sin6),(222pLUpUdxpxUdaxpxpU(1)(2)(3)(4)(5)例题8：有界杆热传导问题深圳大学电子科学与技术学院2sin46),(22xappxU反演tax