第8章 位移法(李廉锟_结构力学-中南大学2013年课件)

第八章位移法§8-1概述§8-2等截面直杆的转角位移方程§8-3位移法的基本未知量和基本结构§8-4位移法的典型方程及计算步骤§8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6对称性的利用已有的知识：（2）静定结构的内力分析和位移计算；（1）结构组成分析；（3）超静定结构的内力分析和位移计算力法。已解得如下单跨超静定梁的结果:ABAB§8-1概述P用力法计算，9个基本未知量如果用位移法计算,1个基本未知量力法计算太困难了！1个什么样的基本未知量?§8-1概述位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基本未知量,运用结点或截面的平衡条件——建立位移法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间确定的关系计算相应的内力。力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。一、位移法的提出(DisplacementMethod)§8-1概述位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。力法：六个未知约束力。位移法：一个未知位移（θB）。ACDlll/2lEI=常数BF§8-1概述CBl/l/Fl22三次超静定图示刚架力法：三个未知约束力。ACBl/l/F22BB位移法：一个未知位移（θB）。§8-1概述位移法的基本假定：（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。（2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持不变。注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。力法与位移法必须满足的条件：1.力的平衡;2.位移的协调;3.力与位移的物理关系。§8-1概述将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：8284FllEIMFllEIMBCBBBCBABBBAlEIMlEIM24（8-1）ABFBBBBACBl/l/F22BBl二、位移法思路θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。由变形协调条件知，各杆在结点B端有共同的角位移θB。§8-1概述ACBl/l/F22BBlACBl/l/ABBFF22BBBBBBBCMBAM考虑结点B的平衡条件,将（8-1）代入式（8-2）得0844FllEIlEIBB于是EIFlB6420BCBAMM（8-2）由∑MB=0，有将θB回代入公式(8-1)则各杆的杆端弯矩即可确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡条件作出剪力图和轴力图。§8-1概述位移法思路：1、设定某些结点的位移为基本未知量，取单个杆件作为计算的基本单元；2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示,而各杆端位移与其所在结点的位移相协调；3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此可求出整个结构（所有杆件）内力。§8-1概述提出问题：1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求得)2、哪些结点的位移作为基本未知量。3、如何确定基本未知量。§8-1概述FPxy本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结果。§8-2等截面直杆的转角位移方程(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移ΔAB（侧移）以使杆件顺时针转动为正,反之为负。ABABθAθB位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：MMqF(1)杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前.AB§8-2等截面直杆的转角位移方程FPxy取简支梁基本结构11112212112222ABXXXX1.先求杆端位移引起的弯矩作出、、（略）1M2MR11223lEI12216lEI12ABl解出12426ABABEIEIEIXlll22246ABABEIEIEIXlll§8-2等截面直杆的转角位移方程FBAABABBAFABABBAABMliiiMXMliiiMX62462421其中：lEIi称杆件的线刚度。转角位移方程(刚度方程)Slope-Deflection(Stiffness)Equation荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可用力法求解，表示，。FFABBAMM2.荷载等外因引起的弯矩由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：§8-2等截面直杆的转角位移方程ABBA两端固定梁一端固定、一端铰支梁一端固定、一端定向支承梁仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1)。用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1)。AB§8-2等截面直杆的转角位移方程lFABMMEIABABBAABFSFSBAABA1、两端固定的等截面直杆记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为和，杆端剪力分别为和。FSABFFSBAFFBAMFABM——两端固定等截面直杆的转角位移方程。FF642624BAABABBABAABBAABABABBABAABABMlΔiiiMMlΔiiiM（8-2）杆端弯矩的一般公式：§8-2等截面直杆的转角位移方程lFABMMEIABABBAABFSFSABABA杆端剪力的一般为FSSFSS)2(6)2(6BAABBAABBAABABBAABABFlΔliFFlΔliF由两端固定等截面直杆的转角位移方程可得到其他支撑的转角位移方程。（8-3）§8-2等截面直杆的转角位移方程2、一端固定、一端铰支的等截面直杆lABFFBAEIABASFBASAMAB033BAABABABAABABMMlΔiiMF令式（8-2）的MBA=0,θB是θA和ΔAB的函数，转角位移方程为§8-2等截面直杆的转角位移方程可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。AMFABABEIABABBMBASlFABSFBβAA3、一端固定、一端定向的等截面直杆令式（8-3）的FSBA=0,ΔAB是θA和θB的函数，转角位移方程为FFBABABAABBAABBABAABABMiiMMiiM§8-2等截面直杆的转角位移方程表8-1要求记忆的内容：12§8-2等截面直杆的转角位移方程349、10、11、12、17自己去画§8-2等截面直杆的转角位移方程结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。一、位移法基本未知量的确定铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。1.独立的结点角位移和独立的结点线位移§8-3位移法的基本未知量和基本结构2.确定独立结点线位移的方法——观察法、换铰法。结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的结点角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。观察法§8-3位移法的基本未知量和基本结构只需增加一根链杆，1个独立的线位移对于不易观察的结构用换铰法。先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。§8-3位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量的数目为6个。需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。需增加两根链杆，2个独立的线位移。ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222结构有四个刚结点——四个结点角位移。§8-3位移法的基本未知量和基本结构思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？答：结点1和2的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为2。EAoo1122默认状态:EI不等于无穷大,EA等于无穷大。§8-3位移法的基本未知量和基本结构qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本未知量:结点1的转角Z1和水平线位移Z2。二、位移法的基本结构基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所得到的没有结点位移(铰结点的角位移除外)的单跨梁的组合体。1.基本结构的概念§8-3位移法的基本未知量和基本结构qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本结构1232.基本结构的确定2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动，不控制结点转动。1)附加刚臂(用符号“”表示)只控制结点转动，不控制结点移动。qZZ1231Z12Z2qZZ121Z12Z13Z12Z2Z1基本结构123§8-3位移法的基本未知量和基本结构例：确定图a所示连续梁的基本结构。基本结构BCDAABCD（图a）基本结构ABCDABCD（图b）在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。§8-3位移法的基本未知量和基本结构基本未知量，基本结构确定举例６＋１＝７§8-3位移法的基本未知量和基本结构EI§8-3位移法的基本未知量和基本结构§8-3位移法的基本未知量和基本结构§8-3位移法的基本未知量和基本结构基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。基本未知量——结点B转角θB，设其为Z1。在结点B附加刚臂得基本结构。原结构基本结构一、位移法的基本方程1.无侧移刚架基本体系§8-4位移法的典型方程及计算步骤2)人为给予结点B以转角θB,由于转角而引起附加约束的附加反力R11。在基本结构上分别考虑：CBl/l/FFR=R+RZZ221111P1ZlBCBAAA11C基本体系ABABCCFZZZRR=Z单独作用Z1Fr1111111P11单独作用F+=1)荷载引起的附加约束中的反力R1P。由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.§8-4位移法的典型方程及计算步骤设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则R11=r11Z1，将其代入公式（8-3）得思考：基本体系与原结构有何不同？原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附加约束反力矩。思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原结构完全等价？要使基本体系与原结构完全相等，必须要有R11+R1P=R1=0即：R11+R1P=0(８-3）R的下标:第一个下标表示产生附加反力矩的位置，第二个下标表示产生附加反力矩的原因。§8-4位移法的典型方程及计算步骤=1244211r11ABCBr1Ziii4i4iiM1r11Z1+R1P=0（８-4）------求解基本未知量Z1的位移法方程。求系数r11作基本结构当位移Z1=1时的弯矩图（图）。1M=1244211r11ABCBr1Ziii4i4iiM1i=EI/l称为该杆的线刚度。0BM取结点B为隔离体，由力矩平衡条件04411iir得lEIir8811§8-4位移法的典型方程及计算步骤求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩图(MP图)。利用力矩平衡条件∑MB=0，得8P1FlR注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与转角Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。ABCBFlFlFlRRF8881P1PABCBFlFlFlRRF8881P1P0取结点B为隔离体§8-4位移法的典型方程及计算步骤将系数r11和自由项R1P代入位移法方程式（８-4）有0881FlZlEIEIlFZ6421得叠加法