4 流体力学基本方程

高等流体力学4流体力学基本方程4流体力学基本方程流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律，即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。流体动力学基本方程组就是这三大定律对流体运动的数学描述。但是，流体力学基本方程组是不封闭的，要使其封闭还需增加辅助的物性关系，如：密度、比热、粘性系数和热传导系数随温度、压强的变化关系等。目前尚不能求得这一方程组的解析解，但研究这一方程组的性质却具有极其重要的意义，因为实际流体的流动过程遵循这一基本方程组。4.1系统和控制体的概念4.1.1系统包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切，统称为外界。系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面。在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。4.1.1系统流体系统的边界有如下特点：①系统的边界随着流体一起运动。系统的体积边界面的形状和大小可以随时间变化；②在系统的边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑出系统的边界；③在系统的边界上，受到外界作用在系统上的表面力；④在系统边界上可以有能量交换，即可以有能量(热或功)通过边界进入或离开系统。4.1.1系统如果我们使用系统来研究连续介质的流动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确定的流体质点所组成的流体团作为研究的对象。但是对大多数实际的流体力学问题来说，采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引进控制体的概念。4.1系统和控制体的概念4.1.2控制体被流体所流过的相对于某个坐标系来说是固定不变的任何体积称之为控制体。控制体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而改变的。4.1.2控制体控制面有如下待点：①控制体的边界(控制面)相对于坐标系是固定的；②在控制面上可以有质量交换，即有流体跑进或跑出控制面；③在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力；④在控制面上可以有能量交换，即可以有能量(内能、动能、热或功)跑进或跑出控制面。4.2连续性方程连续性方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。连续性方程是运动学方程，它与力无关，所以既适用于理想流体也适用于粘性流体。在流动空间中，考察一微元控制体，其体积为dxdydz，对某一固定参考系统，它是固定在空间中的，如下图所示。4.2连续性方程质量守恒定律可表述如下：控制体内流体质量的减少量应等于从控制体净流出的流体质量。控制体内流体的流入与流出yxρuxdzdxdyoz4.2连续性方程(1)控制体内流体质量的变化dt时间中控制体内流体密度的变化为dt时间中控制体内流体质量的减少量为dtttzyxtdddd4.2连续性方程(2)通过控制面净流出控制体的流体质量dt时间内在x方向通过左右两个侧面(控制面)净流出的流体质量为同理，dt时间中在y、z方向通过相应控制面净流出的流体质量分别为tzyutzyxxuuxxxddddddd)(tzyxxuxdddd)(tzyxyuydddd)(tzyxzuzdddd)(4.2连续性方程(3)流体流动的连续性方程根据质量守恒定律，由上述分析可得出对于单位时间单位体积空间而言这就是直角坐标系中的连续性方程式，将之写成向量形式即得tzyxzuyuxutzyxtzyxdddd)()()(dddd0)()()(zuyuxutzyx0)(ut使用恒等式，连续性方程可写成4.2连续性方程按求和约定，连续性方程可表示成0)(iixutuuu)()(0DDut)(DDutt展开0][zuyuxuDtDzyx其中：0][][zuyuxuzuyuxutzyxzyx有源汇时Qut)(有扩散时0)(111ut0)(222ut0)()(221121uut0)(wt或其中，212211uuw4.2连续性方程两种流体混合在一起流动时的连续方程4.2连续性方程对于定常流动，，连续性方程变成按求和约定，上式表示成它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于流入该体积空间的质量，也可以说微元控制体内的流体密度不随时间而改变。0t0)(u0)(iixu4.2连续性方程对于不可压缩流体的流动问题，，不可压缩流体流动的连续性方程为按求和约定，上式表示成上式说明，由于流体微团的密度和质量在流动过程中都不变，所以流体微团的体积在运动中也不会改变。0DDt0u0iixu积分形式的连续方程CVCSndVtdAu4.2连续性方程在流场中取一封闭控制面A,设n为控制面的外法线,则单位时间内净流出控制面的质量为:CSndAu此处为控制面A上的法向分速,cs指控制面。根据质量守恒定律和流动连续性,净流出控制面的质量,必须使控制体内质量减少,单位时间控制体内质量的减少量为:CVdVt此处cv为控制体。故积分形式的连续方程为:nu定常流动0CSndAu不可压缩流动0CSndAu0CSdAnu或说明单位时间内流出控制面的质量等于流入控制面的质量说明单位时间内流出控制面的流体体积等于流入控制面的流体体积圆柱坐标系(r,θ,z)中，流体流动的连续性方程，，质量流速),,(zrP),,(zruuuuu1、通过外表面积流入流出导致的质量变化微元体中心P点坐标，流速，质量流速),,(zr),,(zruuuuu（1）径向方向上（r坐标），流体流入流出质量差，微元体中心坐标，r质量流速ru内侧中心坐标2drr质量流速2drruurr质量流量dzddrrdrruurr)2](2[外侧中心2drr2drruurrdzddrrdrruurr)2](2[左侧面流入质量:dzdtddrrdrruurr)2](2[右侧面流出质量:dzdtddrrdrruurr)2](2[drxyzodzdrrdr轴轴方向上，流入流出质量差，流体质量增量dzdtrdrdrurudzdtdrdrrudrudzdtddrdrrurdrrudrurudzdtddrdrrurdrrudrurudzdtddrrdrruudzdtddrrdrruurrrrrrrrrrrrrrrr][][]2222[]2222[)2](2[)2](2[坐标质量流速质量流量内侧外侧rdrrrudrruurrdzrdur][dzddrrdrruurr)]([内侧面流入质量：dzdtrdur][外侧面流出质量：dzdtddrrdrruurr)]([径向方向上，流入流出质量差，流体质量增量dzdtrdrdrurudzdtdrdrrudrudzdtddrdrrurdrrudrurudzdtrdudzdtddrrdrruudzdtrdurrrrrrrrrrrr][][][)]([][（2）切向方向上θ坐标，流体流入流出质量差微元体中心坐标，质量流速u后侧面中心坐标2d质量流速2duu质量流量drdzduu]2[前侧面中心2d2duudrdzduu]2[drxyzodzdrrd后侧面流入质量drdzdtduu]2[前侧面流出质量drdzdtduu]2[θ轴轴方向上，流入流出质量差，流体质量增量dzdtrdrdurdzdtdrdudrdzdtduudrdzdtduu1]2[]2[坐标质量流速质量流量后侧前侧后侧面流入质量：drdzdtu][前侧面流出质量：drdzdtduu][udrdzudduudrdzduu][切向方向上，流入流出质量差，流体质量增量dzdtrdrdurdzdtdrdudrdzdtduudrdzdtu1][][（3）轴向方向上z坐标，流入流出质量差微元体中心坐标，z质量流速zu下侧中心坐标2dzz质量流速2dzzuuzz质量流量)(]2[rddrdzzuuzz上侧中心2dzz2dzzuuzz)(]2[rddrdzzuuzzdrxyzodzdrrd下侧面流入质量dtrddrdzzuuzz)(]2[上侧面流出质量dtrddrdzzuuzz)(]2[z轴轴方向上，流入流出质量差，流体质量增量dzdtrdrdzudtrddrdzzuudtrddrdzzuuzzzzz)(]2[)(]2[坐标质量流速质量流量下侧上侧下侧面流入质量：dtrddruz)(][上侧面流出质量：dtrddrdzzuuzz)(][zzu)(][rddruzdzzdzzuuzz)(][rddrdzzuuzz轴向方向上，流入流出质量差，流体质量增量dzdtrdrdzudtrddrdzzuudtrddruzzzz)(][)(][Dt时间内，由于流入流出，微团内流体质量变化dzdtrdrdzuurrurudzdtrdrdzudzdtrdrdurdzdtrdrdruruQzrrzrr]1[1][12、因微团内流体密度变化而导致的质量变化t时刻流体密度微团内流体质量drdzrddv时刻dtt流体密度微团内流体质量dttdrdzrddttdvdtt][][时间内，由于流体密度微团内流体密度变化而导致的质量变化dtdzdtrdrdtdzrdrddzrdrddttQ][23、根据质量守恒定律dzdtrdrdzuurrurudzdtrdrdtzrr]1[0]1[zuurrurutzrr定常流动不可压缩流动01zuurruruzrr01zuurruruzrr0)()(1)(1zuurrurrtzr在球坐标系(r,θ,φ)中，流体流动的连续性方程0)(sin1)sin(sin1)(122ururrurrtr定常流动0)(sin1)sin(sin1)(122ururrurrr不可压缩流动0)(sin1)(sinsin1)(122ururrurrr4.3应力状态1、流场中任一点M的应力过M点且法向为n的单位微元面积ΔA上所受表面力ΔPAPPAn0lim其中：ΔA——分界面上包含M点的微元面积，外法线方向为nΔP——ΔA上作用的表面力为矢量，其大小和方向不仅取决于M点在空间的位置，而且取决于微元面积ΔA在空间的方位，即ΔA的外法线方向，一般情况下，与方向不相同。nP),,(zyxnnPnM点的应力4.3应力状态应力的定义过M点