高级通信原理第4章 信号的分析

第4章信号的分析主要内容信号的空间分析信号的矢量表示方法统计判决理论AWGN条件下的最佳接收及误码率分析带通信号和系统的等效低通分析希尔波特变换解析信号频带信号与带通系统4.1信号的空间分析重点：常见调制信号的空间表示格拉姆-施密特正交化：如何将一组n维向量构成一组标准正交向量？正交矢量空间表示：任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。－－用矢量空间中的一个点来表示某矢量。复习格拉姆-施密特正交化提问信号是否可以用矢量表示？设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即nmnmdttftfmn10信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似Nknntfsts1ˆ这一近似的误差为tststeˆ如何求得系数sn,使得误差的能量最小？Nndttftssnn,...2,1,结论：Nknntfsts1例题：已知一组标准正交函数如下，试画出信号空间中一个点所对应的信号波形。1）标准正交基2）信号的空间表示3）数字调制信号的矢量空间表示信号的正交展开方法(GranSchmidt)设一组信号为si(t),i=1,2,…M,现求一组正交函数来表示这组信号。第一步:设归一化的s1(t)为第一个正交函数,即第一个单位长度的正交矢量为111tstfdttsii2第二步:计算s2(t)在f1(t)上的投影dttftsc1212从s2(t)中减去c12f1(t),即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分tfctstf11222将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量dttftftf2222''这里第三步:求第k个正交函数dttftscikik11Kiiikkktfctstfdttftftfkkk2''正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕，则N≤M个标准正交波形构造完成。其中信号的矢量空间表示例设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。21111tststf022012201212dttstsdttftsc022tstf2'22222tsdttftstf222013301313dttstsdttftsc022023302323dttstsdttftsc解:otherwise032102132133ttststftftstftfdttftftf'''32333同理1,0,2342414ccc023143144tftststftftstf21111tststf2'22222tsdttftstftststftftstf13213302023143144tftststftftstf练习解：小结信号的空间表示信号的正交展开信号的空间表示信号的矢量空间表示有4个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。（1）确定信号空间的标准基函数集；（2）画出信号星座图；例题例5:4ASK(或4PAM频带信号)4.2AWGN条件下的最佳接收及误码率分析1)信号的矢量表示2)AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”)3)误码率分析复习：信号的矢量表示一、最佳接收机信号解调器相关解调器MF解调器最佳检测器最大后验概率准则最大似然准则最小距离准则无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象，研究从噪声中如何准确地提取有用信号。对于数字信号而言，“最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。假定发送M个信号波形Mmtsm,,2,1,，每个波形的持续时间为T。在Tt0间隔内，接收信号表示为Tttntstrm01、相关解调器接收信号的正交展开相关解调器因为正交函数集tfk不能构建噪声空间，接收信号tntfrtntfntfstrNkkkNkkkNkkmk111其中Nkkktfntntn1，tn表示tn与tn在基函数tfn上投影的对应部分之差。可以证明：tn不包含与判决有关的任何信息。也就是说，判决完全可以根据相关器的输出kr来进行。MF解调器对输入信号的匹配!问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？可以证明：1)噪声kn是均值为0，方差2/02Nn的不相关（即相互独立）的高斯随机变量。（设信道噪声tn的功率谱密度为2/0N（W/Hz））2)在发送信号tsm的条件下，相关器输出kr也是不相关（即相互独立）的高斯随机变量。mkkmkksnsErE；2/022Nnr3)条件概率密度NkmkkNkmkkmNsrNsrpsrp10201exp1||NkMm,,2,1,,2,1证明：例5－1－1研究一个M元的基带PAM信号集，在该信号集中的基本脉冲形状tg是高度为a，宽度为T的矩形。加性噪声tn是均值为0，功率谱密度为2/0N（W/Hz）。计算基函数tf，相关解调器的输出，msrp|。参见数字通信(第4版)172页解：例5－1－2M=4的双正交信号是由两个正交信号构成的。该信号用来在AWGN信道传输信息。假定噪声均值为0，功率谱密度为2/0N。求该信号集的基函数，匹配滤波解调器的冲激响应，当发送信号为ts1时匹配滤波器解调器的输出21,rrr。M=4的双正交信号(eg.4PSK)参见数字通信(第4版)175页思考：1、需要几个匹配滤波器？2、第一个匹配滤波器输出的信噪比？3、相对于4个输入信号，考虑信道噪声两个匹配滤波器输出的信号为多少？双正交信号一组M个双正交信号集可以由M/2个正交信号与其负的正交信号构成。注意：在任何一对波形之间的相关系数为-1或0，相应的距离为E2或E2，且后者为最小距离。解：2、最佳检测器前面已经证明，对于AWGN信道传输的信号，相关解调器或者匹配滤波器解调器产生的向量Nrrr,,21r包含了接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量r的最佳判决准则。假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量Nrrrr,,21对该间隔内的发送信号作出判决，并使正确判决概率最大。最大后验概率准则最大似然准则最小距离准则已经解决的问题：提出问题：根据观察矢量r作出发端发送的是哪个ms的估计，其判决输出用sˆ表示。若输出判决sˆ不等于ms，则判错。如何使平均错判概率最小？如何确定判决准则？根据观察矢量r落入哪个判决区域mR，作出发端发送的是哪个ms的估计，用sˆ表示。若输出判决sˆ不等于ms，则判错。所以错误概率表示为MmRmmMmmmmMmdrsrpsPsssPsPP11|1)()|ˆ()(MmRmmmdrsrpsP1|)(1可见，为了得到最小的错误概率，对于给定的观察矢量r，选择“最大的mmsrpsP|)(所对应的ms”作为判决输出，即mmssrpsPm|)(maxargˆs“最小的错误概率”准则：选择“最大的mmsrpsP|)(所对应的ms”作为判决输出，即mmssrpsPm|)(maxargˆs根据贝叶斯公式，后验概率rsrsrsmmmppPP||“最大的mmsrpsP|)(”即为“最大的rsm|P”，则判决准则为rssm|maxargˆPms即选择最大的后验概率，称该准则为MAP准则。结论最大后验概率（MAP）准则（最小错误概率准则）：选择后验概率集合MmP,,2,1|rsm中最大值的信号。等价于“选择mmsrpsP|)(最大值的信号”。最大似然（ML）准则：当先验等概时，即对所有M有MP/1ms，最大后验概率（MAP）准则可等价为寻求使msr|p最大的信号。条件概率msr|p或者它的任意单调函数通常称为似然函数。选择似然函数集合msr|pMm,,2,1中最大值的信号。可以证明，AWGN信道中，“ML准则”等价于“最小距离准则”。最小距离准则：选择在距离上最接近接收信号向量r的信号ms。也就是使得下列欧式距离NkmkksrD12,msr最小的信号msMmsrppNkmkkm,..2,1,1srNkNsrNsrpmkkmkk,...2,1,exp1020MmNsrNspNkmkkNm,..2,1,exp110220rNkmkkmsrNNNp12001ln21lnsrmpsrln最大，等价于“欧式距离NkmkksrD12msr,”最小。最小欧式距离准则的证明思路距离度量：MmssrrDmmNnmnNnmnnNnn,...2,1,222212112ssrrsr,m22'mmDssrsr,m相关度量：mmTmmdttstrC0222ssrsr,m可见，距离NkmkksrD12msr,最小，等价于相关度量msr,C最大。最大相关度量准则如果所有信号具有相同的能量，相关度量可写成r·sm最佳AWGN接收机的实现形式注意：1、要求先验等概；2、与所有发送信号进行相关，而不是基函数的相关。如果所有信号具有相同的能量？总结：后验概率rsm|P似然函数msr|p欧式距离NkmkksrD12,msr相关度量：22mmCssrsr,m1）最佳检测器（最小错误概率）：“最大后验概率准则”2）“最大似然准则”只有在先验等概条件下才是“最佳检测器”。不等概时，为了得到最小的错误概率，应该计算“度量mmssrPp|最大”3）“ML准则”在AWGN(无记忆信道)条件下，等价于“最小距离准则”，也可为“最大相关度量准则”。但它不一定是最佳的，同”ML准则“一样，只有在先验等概条件下才是“最佳检测器”。总结：最佳接收机信号解调器相关解调器MF解调器最佳检测器最大后验概率准则最大似然准则最小距离准则例5－1－3研究二进制PAM信号，其中两个可能的信号点为bss21，b表示为每比特能量。先验概率psPpsP1,21。求在发送信号受到AWGN影响时最佳MAP检测器的度量。参见数字通信(第4版)179页ThereceivedsignalZeromeanGaussiannoiseTyrnb2212exp21nbnrsrp2222exp21nbnrsrp解:22112exp2nbnrppsrpPMsr,22222exp211nbnrppsrpPMsr,121,1sPMPMsr,sr,bbbrrppPMPM2exp12221s