第八章 流体力学

工程流体力学第八章粘性流体绕物体的流动第八章粘性流体绕物体的流动实际流动都是有粘流动，目前对粘性流动研究方法主要有：1、基于N-S方程的紊流模拟2、流体实验流动分类根据工程的实际情况，流动可分为：内流和外流。内流：如右上图。外流：如右下图。本章的主要内容本章主要讨论绕流问题，即外流问题。首先将介绍粘性流体的运动微分方程，然后将给出边界层的概念及其控制方程，最后针对绕流流动现象的一些具体问题进行了讨论。◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解◆扰流阻力及其计算◆附面层的问题第一节不可压缩粘性流体的运动微分方程以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下的矢量形式：这里：是流体微团的加速度，微分符号：称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质时间的变化率。PFDtDVVVVVtDtDiixVttDtDV(8-1)(8-2)(8-3)一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导如图所示，控制体的各边长分别为dx,dy,dz，微元体的体积为：（8－4）作用在微元体上的质量力为，其可用三个分量表示为：（8－5）这里：（8－6）如果的三个分量是，则：（8－7）dxdydzdVbFkFjFiFFzyxFdxdydzFbzyxFFF,,kFjFiFFbzbybxb★作用在微元体上的表面力将微元体六个面上的应力分别投影到三个坐标方向上如图◇作用于微元体个面上的x轴方向的应力把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用在微元体上的表面力在x方向的分量为：dxdydzzyxdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxxzxyxx◇作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的应力•同理，表面力在y方向的分量为：•表面力在z方向的分量为：dxdydzxzyxyzyydxdydzyxzyzxzz★作用在微元体上的表面力•如果用,和表示单位体积的表面力，则：（8－8）zPyPxPyxzPxzyPzyxPyzxzzzxyzyyyzxyxxx★作用在微元体上的表面力将上式和式（8－7）代入式（8－1）则得：（8－9）这就是微分形式的运动方程。yxzFDtDvxzyFDtDvzyxFDtDvyzxzzzzxyzyyyyzxyxxxx二、本构方程•本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中，建立了牛顿流体的本构方程：（8－10）上式也称为广义牛顿定律zvvpyvvpxvvpzvyvxvzvyvxvzzyyxxyzyzzyzxzxxzxyyxxy232232232三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）•将式（8－10）代入式（8－9）可得：（8－11）上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流体运动微分方程的又一种形式。2222222222222222221()()31()()31()(3yxxxxxzxyyyyyxzyyxzzzzzDvpFDtxxyzxxyzDvpFDtyxyzyxyzDvpFDtzxyzzxy)zz•对于不可压流体，其连续方程为：•对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动方程为：（8－12）0zvyvxvzyx222222222222222222zvyvxvzpFDtDvzvyvxvypFDtDvzvyvxvxpFDtDvzzzzzyyyyyxxxxx三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）●并考虑到拉普拉斯算子：不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：（8－13）2222222zyxzzzyyyxxxvzpFDtDvvypFDtDvvxpFDtDv222三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）•如果质量力只有重力作用，用代表重力加速度，不可压缩粘性流体的运动方程的矢量形式为：(8-14)右端第一项表示单位质量的质量力；第二项代表作用于单位质量流体的压强梯度力；第三项代表黏性变形应力。g2D-pDtVgv三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）•对理想流动，认为流体无粘性，，这时运动方程简化为欧拉方程：（8－15）或矢量形式（8－16）0xxyyzzDvpFDtxDvpFDtyDvpFDtzpDtDFV三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）●当流体静止不动时，，则运动方程简化为：（8－17）0V000zpFypFxpFzyx三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）第二节蠕动流动•蠕动流动：雷诺数很低的流动。•特点：流动的尺度和流动的速度均很小•如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流动等等。一、蠕动流动的微分方程•对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下，可把纳维尔――斯托克斯方程（8－14）组简化成：（8－18）)()()(222222222222222222zvyvxvzpzvyvxvypzvyvxvxpzzzyyyxxx一、蠕动流动的微分方程●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：（8－19）将式（8－18）依次求、、，然后相加，并结合连续性方程，即得：即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。0zvyvxvzyx22xp22yp22zp02222222pzpypxp(8-20)二、绕球的蠕动流动•对如图所示的无穷远来流以速度均匀平行流沿轴绕半径为的静止圆球流动，得速度与压强分布为：（8－21）300330030231(,)cos(1)2231(,)sin(1)443(,)cos2rrrvrrrrrvrrrrprprVx0r二、绕球的蠕动流动式中为无穷远处来流的压力。圆球以很小的速度在静止流体中作等速运动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示。p二、绕球的蠕动流动•在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高点和最低点，分别为：在前驻点A（＝180°）（8－22）在后驻点B（＝0°）：（8－23）•而切应力的最大值，发生在C（＝90°）为：（8－24）等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差的绝对值。023rVppA023rVppB02/3rVc二、绕球的蠕动流动•球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为：（8-25）对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体作用在圆球上的阻力为：（8-26）这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2为圆球的直径。00,00,03()2cos213()()sin2rrrrrrrrrvppprrvvvvrrrrr063DFrd0r第三节边界层的概念边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。我们可以用如图所示的绕平板的流动情况说明边界层的概念。★边界层的定义•粘性流体绕流物体时，由于粘性的作用，在物体的表面附近，存在一速度急剧变化的薄层——边界层。例如：来流的流体绕流平板时，在平板表面形成边界层。V★边界层的定义•在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转捩区，转类区的开始点称为转捩点。转类区下游边界层内的流动为紊流状态。•在转捩区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流底层和粘性底层。V◆边界层的特点•边界层内速度梯度很大，旋涡强度大，有旋流动惯性力和粘性具有相同的数量级，同时考虑。•边界层外部速度梯度很小，可以作为理想流体的势流处理。•边界层厚度随的增大而增大，随的增大而减小。•由于边界层很薄，因而可以近似认为，边界层任一截面上各点压强相等。VeR◆边界层的分类按流动状态，可分为层流边界层和紊流边界层。●判别准则——雷诺准则：平板上的临界雷诺数=~●边界层的构成：1.层流边界层，当较小时，边界层内全为层流，称为层流边界层。2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大部分为紊流区，称为混合边界层。eR51056103eR◆边界层的厚度•两个流动区域之间并没有明显的分界线。•边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。•边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。第四节平面层流边界层的微分方程•在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为：（8-27）222222221()1()0xxxxxyyyyyxyyxvvvvpvvvxyxxyvvvvpvvvxyyxyvvxy第四节平面层流边界层的微分方程•将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流的速度，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为，平板前缘至某点的距离为。取和为特征量，可定义如下的无量纲量：/////（）V/xxyy/xxvvv/yyvvvpp2v代入方程组（8－27），整理后得：（8-28）式中雷诺数//2/2////////2/2//2//22/2//////////2/2///2///////1()Re11111()11()Re1111()()011xxxxxylyyxylyxvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxyvvxyRelvl第四节平面层流边界层的微分方程•与相比较是很小的，即或/1，同时注意到，与、与、与具有同一数量级，于是、、和的量级均为1，并可以得到：～1～1～1～为了估计其他各量的数量