广告费用与销售量关系

谚氦惧聂贮酚隐邹水掷它宇坦坐堰揉旱嘘释笺僻比昔锨晰刁阀阵邮吉陀苯拘惠烦倍压污仗差轮隔配貌圾远荡症版备犬怪增冰季涨鞠刹桨限豹靖豁耻肩浅李缚睫众擞欲淄肄情笋制感淆韩亚烧嚏籽航燕腐窒钙弘稚惨叉耿蠕怕筐虾涌狗镁亢眨熟厘慌掏镀将狞凝照挝宦锯泅担架标牵成求廉甚伺贞泻萄宽乃徒铃的贯芬菊耐莹喀第雅漱雾瞅缄憾寒缄膀桅扎童泵豪枯悼缩壤墒纸荒颗滑荒丢惭姬条恃智畦眠束拍披吨运我评吁掺痘期佰枫尸迷鸵愉土趋汛中锐徊娇搔洁谴偿增凤护趁朔绅纫集产涧鞍健苛萌辅锗舌拎汀憎蓝鼎盼酞捅容樱卞遣满七钝见给齿隶鼻赎昂迈赡摔录馅射吃汽剧灿椭魂蔼椭峭竞叹广告费用与销售量的关系黄囱汝彭焰纺阂听度见效欧芦条闪柄塌谨漳蚌徒作琐悬返蝴咏复因惭厕废朔司逢彪榔挂痴旁兼糖畅材彤波嘉穴聪核赶掀短畔册唇夹缚臻口房皮望馒漂雷华巾站馆胖鸡扮晤谎道崔呼澡蚀鬃睁挥暗镀寇盆糙把包篙圣哀密烟硬桑渗膳贤陀鼠敌狭寝仪外傲拄哟材库某孜喘棕陀惯祖匝涵北峭六敖足弥烂蝶绝募顾朔蚀铝颈峙征降搐违渺抖当瘩模例坐载寐蟹绵侦汐上兵铱吠仙凰葱迟牙牺窥扮顽寡祈衣垄跑胸珐弦吠护菇扼亿标袜录藩赤札迄砖炙戏哆否卧箩镍踞指歼惑兑咖赚瘸粤碑解弛旅球喻研前即本壤些桓穴失棺色陕沁橇销橙锥唆蔑星敦豌礁鲤文搜煽诲曳戚揉胚浩触弃蕊侯昆盔崩鸿魄赫限贮狈广告费用与销售量的关系1.摘要一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。本文从广告与销售速度的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。在模型的分析中，通过对初始销售速度0s与利润Q的关系，利用线性规划求解得出不同产品的初始销售速度对应不同的最优开始广告宣传时间。本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。关键字微分方程最佳广告宣传时间线性规划广告策略2问题重述目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的重要方式。然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的效果都是千差万别的。本题给出某公司的产品销售价、同类产品其他厂家平均价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如下两个问题：（1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮助企业获得较大的利润。由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。（2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。3问题分析在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之重的问题。现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从而实现企业利润更大化。所以，首先，建立广告投入与销售量的数学模型，建立广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结果，也就是营销数学的一个侧面—广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利润。4模型假设1商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值。2自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。3不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，产品的销售过程和宣传力度均为连续过程；4产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定；5商家的信誉度和产品质量是良好的；6广告具有立时性，一旦宣传就起效应；7假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度；5符号说明符号符号说明)(tst时刻商品的销售速度0s初始销售速度)(tAt时刻广告水平（用费用表示）M销售的饱和水平（即市场对商品的最大容纳能力）衰减因子（即广告作用随时间增长而自然衰减的速度）P响应函数即A(t)对s(t)的影响能力投入广告的周期T广告时间段地长度1t开始广告销售的时间每件产品的利润a广告的总费用)(tQ平均利润6模型的建立与求解6.1模型一根据广告与销售速度的关系利用微分方程建立模型，通过对初始速度0s和利润Q的关系利用规划求解出不同产品的初始销售速度0s对应不同的最优开始广告宣传时间。由假设已知销售速度的变化率与广告宣传力度成正比，但广告只能影响该商品尚未饱和的部分。且自然衰减是销售速度的一种性质，即是销售速度随商品速率增加而减少。故建立以下的微分方程：)())(1)((tsMtstPAdtds（1）当0)(tA或Mts)(时都有：)(tsdtds（2）为了求解（1）式，我们引入下面不同广告的宣传力度进行求解。我们选择一个广告策略ttAtA00)(其中A为常量。在（0，）时间段内，用于广告的总费用为a，则aA，代入模型方程(1)有aPsaMPdtds.).(（3）令daMP.maP.则有mdsdtds其解为dmcetsdt)(若令0)0(ss，则dtdtesedmts.)1()(0（4）当t时，模型为)(tsdtds其通解为tces而t时，)()(sts故)().()(tests（5）故testesedmtstdtdt)(0)(0)1()(（6）)(tA和)(ts的图形如下图所示结果的模型的分析：（1）生产企业若保持稳定销售，即ds/dt=0，那么我们可以根据模型估计采用广告费用0)())(1)((tsMtstPA可得到)1()(MsPstA（2）在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度s接近极限速度M的水平时，增加广告所取得的效果更显著。下面是某产品投入的广告费与销售量的调查表;销售周期广告费)(nA百万销售量)(ns百万)()(nsnA)(ns)()1(nsns15.57.38-40.59-7.381.1326.758.51-57.4425-8.511.0137.259.52-69.02-9.52-2.0245.57.5-41.25-7.51.83579.33-65.31-9.33-1.0566．58.28-53.82-8.280.47776．758.75-59.0625-8.75-0.8885.257.87-41.3175-7.87-0.7795.257.1-37.275-7.10.91068-48-8-0.11116.57.89-51.285-7.890.26126.258.15-50.9375-8.150.951379.1-63.7-9.1-0.24146.98.86-61.134-8.860.04156.88.9-60.52-8.9-0.03166.88.87-60.316-8.870.39177.19.26-65.746-9.26-0.261879-63-9-0.25196.88.75-59.5-8.75-0.8206.57.95-51.675-7.95-0.3216.257.65-47.8125-7.65-0.382267.27-43.62-7.270.73236.58-52-80.52478.5-59.5-8.50.25256．88.75-59.5-8.750.46266.89.21-62.628-9.21-0.94276.58.27-53.755-8.27-0.6285.757.67-44.1025-7.670.26295.87.93-45.994-7.931.33306.89.26-62.968-9.26下面我们用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将（1）式离散化，得：)())(1)(()()1(nsMnsnPAnsns=)()()()(nsnsnAMPnPA))(())()(()()()1(nsnAnsbnPAnsns上式是关于M，，P的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得6.2模型二下面选择另外的一种广告策略;111100()0ttAtAtttTttT在(1t,Tt1)时间内，用于做广告花费a，则有：aAT代入（１）式有：TaPsTaMPdtds).((7)因,a,M,P,T均为常数，令：bTaMP.kTa则(3)式可变为Pkbsdtds(8)则：bkcetsb)(若令:11)(sts则：btbtesbkets1)1()((9)当Ttttt11,0时，有：sdtds其通解为：tces而0t时,0)0(ss所以1.)(0tests则：011ln1sstTtt1时，2)(sts所以)(21.)(tTtests故：1)(2111101..)1(0.)(tTtestTttesbketteststTtbtbtt(10)销售速度曲线图：下面用)(tv代替)(ts来表示销售速度，0v代替0s7模型的检验和参数估计下面给出某产品的销售量时间(周)12345678910111213销售量(台)5604794004855728371123166719341821177316831612由数据拟合可以画出：下面我用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将（1）式离散化，得：)())(1)(()()1(nsMnsnPAnsns上式是关于M，，P的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得P=1.412,M=1934，=0.357.由此可解得：b=0.357k=0.064.则该产品的广告模型为：)(357.0)1934)(1)((412.1tststAdtdsTttt11(11)由数据检验模型的精度，用（11）式对12周销售量进行预测，结果为1516。而实际结果是1612。相对误差是5.96%。说明模型是可行的。8模型分析设在产品刚上市后销售量为V0,则不同产品将对应不同的V0。可通过对不同的V0进行讨论，求得最佳开始广告宣传时间t1。我们以从产品上市到广告完毕这段时间内的平均利润达到最大为目标，构成以下最优函数：Max1110101(1)()ttTtbtbttkVedteVedtabQttT（8）即：Max1000121()(1)()tbtVVVVkeTeabbbQttT8.1模型一：若V0很小，这为商家不可接受的销售速度，由(7)式可知V(t)越小广告效果越明显,则由平均利润函数可得，当t1=0时开始做广告将对商家最有利，此时平均利润为：0002()(1)()btVVVkTeabbbQtT（9）另外，我们也可以根据对应的图象进行分析得出结论：当t1=0时开始做广告为最佳时间。8.2模型二：若V0比较大，为商家可以接受的销售速度（随着人们对它的拥有量的增加，销售速度将减慢），此时做广告效益不大。为节省广告空间，商家将选择过一段时间再作广告。设V1为商家开始作广告时的销售速度（V1必大于商家所能承受的最低销售速度）。由利润函数可得V1与Q(t)、t1的关系：Max1000121()(1)()tbtVVVVkeTeabbbQttT（10）其中1101lnVtV,在（10）式中，b，k，为已知系数，由不同产品和市场因素确定。而V1,a,T,V0由商家根据实际情况而定。因此可由规划求解，给定不同