2导数的概念经典例题

经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求221yx在0x到0xx之间的平均变化率，并求01x，12x时平均变化率的值.思路点拨:求函数的平均变化率，要紧扣定义式00()()fxxfxyxx进行操作.解析：当变量从0x变到0xx时，函数的平均变化率为220000()()[2()1][21]fxxfxxxxxx042xx当01x，12x时，平均变化率的值为：141252.总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+x]内的平均变化率。【答案】2225(2)6(526)205yxxx，所以平均变化率为205yxx。【变式2】已知函数2()fxx，分别计算()fx在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为212sgt，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【答案】要求平均速度，就是求st的值，为此需求出s、t。设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则13.130.1(s)t，22111(3.1)(3)3.130.305(m)22sssggg。所以1110.3053.05(m/s)0.1sgvgt。同理2220.030053.005(m/s)0.01sgvgt。3330.00300053.0005(m/s)0.001sgvgt。【变式4】过曲线3()yfxx上两点(1,1)P和(1,1)Qxy作曲线的割线，求出当0.1x时割线的斜率.【答案】3.31当0.1x时33(1)1(1)(1)(1)11.113.31(1)10.1PQyyfxfxkxxxx类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数1()yfxx在x=1处的导数。解析：∵1(1)(1)11yfxfx11111(11)1xxxxx(11)1xxx∴1(11)1yxxx∴01'(1)lim2xyfx。总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量y；第二步求平均变化率yx；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数1yxx（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线1yxx上一点7(4,)4P处的切线方程。【答案】（1）00114(2)(4)(4)44'(4)limlimxxxfxfxfxx011(42)44limxxxx04(4)42limxxxxxx0115lim4(4)1642xxx，（2）由导数的几何意义知，曲线在点7(4,)4P处的切线斜率为'(4)f，∴所求切线的斜率为516。∴所求切线方程为75(4)416yx，整理得5x+16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）()fxc；（2）()fxx；（3）2()fxx；（4）1()fxx。【答案】（1）()()0yfxxfxcc，∴()()0yfxxfxxx，∴00'limlim00xxyyx。（2）()()yfxxfxxxxx，∴1yxxx，∴00'limlim11xxyyx。（3）222()()()2()yfxxfxxxxxxx，∴22()2yxxxxxxx，∴00'limlim(2)2xxyyxxxx。（4）11()()yfxxfxxxx()()xxxxxxxxxx，∴1()yxxxx，∴20011'limlim()xxyyxxxxx。例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设3()2fxxx.0(1)(1)'(1)limxfxffx330(1)2(1)(121)limxxxx20[()35]limxxxxx20lim[()35]xxx5由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.总结升华:求函数()yfx图像上点P00(,)xy处的切线方程的求解步骤：①求出导函数在0xx处的导数0'()fx（即过点P的切线的斜率），②用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x―5；（2）垂直于直线2x―6y+5=0；（3）与x轴成135°的倾斜角。【答案】2200()()()'()limlim2xxfxxfxxxxfxxxx，设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以01213x，得032x，094y，即39(,)24P。（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得012x，014y，即11(,)24P。例4．已知函数()fx可导，若(1)3f，'(1)3f，求21()3lim1xfxx解析：22211()3()3limlim[(1)]11xxfxfxxxx（(1)3f）221()(1)lim[(1)]1xfxfxx2211()(1)limlim(1)1xxfxfxx（令t=x2，x→1，t→1）1()(1)2lim1tftft2'(1)236f举一反三：【变式】已知函数()fx可导，若(3)2f，'(3)2f，求323()lim3xxfxx【答案】3323()(26)63()limlim33xxxfxxfxxx33[2()]lim{2}3xfxx3(3)()23lim3xffxx3()(3)23lim3xfxfx23'(3)23(2)8f类型三：利用公式及运算法则求导数例5．求下列函数的导数：（1）41yx；（2）53yx（3）222loglogyxx；（4）y=2x3―3x2+5x＋4解析：（1）44154514'()'()'44yxxxxx.（2）33215355552333'()'()'555yxxxxx.（3）∵2222logloglogyxxx，∴21'(log)'ln2yxx.（4）322'2()'3()'5()'(4)'665yxxxxx总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）yxx；（2）22sin(12cos)24xxy（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）3312233'()'()'22yxxxxx.（2）22sin(12cos)24xxy22sin(2cos1)24xx2sincossin22xxx∴'cosyx.（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889yxxxxx例6．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)fxxx；（2）y=x2sinx;（３）y=1e1exx；（４）y=xxxxsincos解析：（1）法一：去掉括号后求导.32()2323fxxxx2'()662fxxx法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'fxxxxx=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（３）2(e1)(e1)(e1)(e1)'(e1)xxxxxy=2)1(ee2xx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（4）2(cos)(sin)(cos)(sin)'(sin)xxxxxxxxyxx=2)sin()cos1)(cos()sin)(sin1(xxxxxxxx=2)sin(1cossinsincosxxxxxxxx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆举一反三：【变式1】函数2(1)(1)yxx在1x处的导数等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D法一：22'[(1)]'(1)(1)(1)'yxxxx222(1)(1)(1)321xxxxx∴1'|4xy.法二：∵22(1)(1)(1)(1)yxxxx321xxx∴322'()'()''1'321yxxxxx∴1'|4xy.【变式2】下列函数的导数（1）2(1)(231)yxxx；（2）3231xxxyxx【答案】（1）法一：13232223xxxxxy125223xxx∴26102yxx法二：)132)(1()132()1(22xxxxxxy=1322xx+)1(x)34(x26102xx（2）231212332xxxxy∴252232123233xxxxy【变式3】求下列函数的导数.（1）2311()yxxxx；（2）1(1)(1)yxx；（3）52sinxxxyx.【答案】（1）321yxx，∴23'32yxx.（2）112211(1)xxyxxxxx，∴312211'22yxx.（3）∵3322sinyxxxx，∴522223'3()'sin(sin)'2yxxxxxx52322332sincos2xxxxxx.类型四：复合函数的求导例7．求下列函数导数.（1）41(13)yx；（2）ln(2)yx；（3）21exy；（4）cos(21)yx.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清