材料物理基础1

材料物理基础授课人王疆瑛方圆南楼408室Email:[e-mail]手机：[phone]；办公室：86875609课程的地位功能材料专业课程体系的一门重要的学科基础课。用数学方法处理材料物理问题拓宽了思路。课程介绍本课程是高等院校功能材料专业的学科基础课，它一方面为后续课程如固体物理基础、固体发光基础、材料物理性能、磁学基础等重要的专业课程提供必要的数学物理基础，同时还为培养学生熟练地用数学方法处理物理问题拓宽了思路。课程特点1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、微分方程、线性代数等）2.涉及到的物理概念多（力学、热学、电磁学…）4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）3.应用广泛(光电材料、固体物理、磁性材料）课程内容安排第一章数学物理方程的定解问题第二章行波法与积分变换法第三章分离变量法第四章特殊函数第五章量子力学基本观念第六章薛定谔方程和波函数第七章量子力学的数学表示第八章量子力学的近似方法第九章自旋与全同粒子共64个教学学时。课程难点材料物理基础的计算比较深奥，但要求掌握方程的推导思路、结果以及物理含义，并不鼓励死记硬背。课程目标通过本课程的教学，使学生掌握求解数学物理方程的基本方法、量子力学基本概念及其基本规律，为进一步学习其它课程打好基础。教材《材料物理数理基础》参考书1、张民等编著，《数学物理方法》，西安电子科技大学出版社，20082、车向凯等编，《数学物理方法》，高等教育出版社，20063、周世勋编，《量子力学》，高等教育出版社，2006，第33版4、关洪编，《量子力学基础》，高等教育出版社，1999第1版5、钱伯初，《量子力学》，高等教育出版社，2006第1版，2011年第11次印刷。课程要求（1）教与学有机结合，多想多问。（2）课后及时复习，答疑。（3）学习过程中的问题及时和教师沟通、反馈，提出好的建议。（4）按时交作业，及时纠正错误。班级学生26人A1小组6人A2小组5人A3小组5人A4小组5人A5小组5人王疆瑛（4）小班研讨主讲教师提前一周布置讨论主题（5个）学生查阅资料，独立书面完成所有讨论内容5人小组同学集体讨论，做一个主题的PPT小组轮换选派同学做PPT汇报教师引导小班讨论（6）考核评价体系的构建小班研讨40%平时作业与网络交流20%期末考试40%自主学习平时学习课外交流思考与创新学生要求遵守中国计量学院学生手册以下情况之一者，不得参加课程考试：1、缺课累计超过课程教学时数的三分之一的（含三分之一）；2、缺交作业达三分之一的以上（含三分之一）。微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论绪论•微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用。•数学具有通过抽象过程将一个领域的思想转移到另一个领域的能力。。。。。。，使大量特殊事实成为某种基本原理的不同表现。常微分方程复习常微分方程微分方程的一般概念线性常微分方程的性质一阶线性常微分方程二阶线性常系数微分方程含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:1代数方程(组)，其未知量为数一元n次代数方程：0111nnnnaxaxax无理方程：652x方程组：17yxyx2超越方程（组），其含有超越函数三角方程：xxcos)5sin(指数方程：52xxe其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）方程/Equation/1sin)(22ttttcos)(1)(t2122)(ctctt例2.1xy)(xfy0)1(.22222urdrdurdrudr)()(.3xyxpdxdy3函数方程（或泛函方程），其未知量为函数其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程。4微分方程0),,,,(.4)(nyyyxF),,,,(.5)1()(nnyyyxfyyxdtdyyxdtdx.60.72yxu4.822222uyuyxuxxsin)(f.92n阶隐式方程n阶显式方程方程组偏微分方程偏微分方程不是微分方程例1：质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。mgmdtsd22gdtsd2221221)(ctcgtts微分方程举例)(ts解：设在时刻t物体下落的距离为按牛顿第二定律例2：放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。)()(tkRtR微分方程：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。解：设在任意时刻t镭的质量为R(t),常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/常微分方程/ODE/在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT422一阶与高阶微分方程微分方程的阶/Order/在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。当n=1时，称为一阶微分方程；当n1时，称为高阶微分方程。例如)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT422一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：0),,(yyxF),(yxfy一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：0),,,,()(nyyyxFn阶显方程的一般形式为),,,,()1()(nnyyyxfy其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。线性和非线性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果方程0),,,,()(nyyyxF的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。例如：)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT422)()()()()1(1)(0xgyxayxayxannn0)(0xa)(),(,),(),(10xgxaxaxann阶线性微分方程的一般形式为：其中均为的已知函数x如：2阶线性方程的一般形式)()()()(210xgyxayxayxaxxexyyxysin2n阶线性微分方程的一般形式为：)()()()()1(1)(0xgyxayxayxannn其中：当g(x)=0,线性微分方程为齐次，当g(x)≠0,线性微分方程为非齐次。解和隐式/Solution/)(xy0)](,),(),(,[)(xxxxFnyxdxdy21xy122yx对于方程若将函数代入方程后使其有意义且两端成立即则称函数为该方程的一个解.)(xy),,,,()1()(nnyyyxfy或一阶微分方程有解即关系式若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。包含了方程的解，通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，称这样的解为该微分方程的通解。常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。例：二阶方程gdtsd2221221)(ctcgtts其通解而221)(gtts是方程满足初始条件0)0(,0)0(ss解。一阶线性微分方程形如(p(x),q(x)为已知函数)axybxyfx的方程,或化为ypxyqx的方程都称为一阶线性微分方程.当q(x)=0时,称为一阶齐次线性方程.称为一阶非齐次线性方程.当时,0qx()()yPxyQx()()dyMxNydxPxdxyCe()通解（1）可分离变量的微分方程通解求法：分离变量，两边积分（2）一阶线性微分方程PxdxPxdxyeCQxedx()()[()]通解一阶微分方程()0Qx非齐次()0Qx齐次对应齐次方程通解非齐次方程特解()()()()PxdxPxdxPxdxCeeQxedx一阶线性常微分方程的解求非齐次方程：例342'1xxyy324)exp()('xxxC代入非齐次方程：02'xyy：对应的齐次方程：解)exp(2xCy齐次通解：)exp()(2xxCyp非齐次特解的形式：)1(22xyp非齐次特解：)exp()1(2)exp(4)(2223xxdxxxxC得到：)exp()1(222xCxyyyp非齐次通解：对应齐次方程利用常数变易法，先求方法一，其中它是一阶线性微分方程将方程改写为解的通解求方程例xexQxxPxexyyeyyxxxx)(,1)(2Cxydxxdyyyxylnlnln1101两边积分，得量：的通解，为此，分离变)(1)()()(),(CexyCexCexCxxCyxCxCxCyxxx于是原方程的通解为解得原方程，经整理得代入并将的待定函数换成将或方法二直接利用非齐次方程的通解公式，得)()(lnln11CdxexeeCdxexeeyxxxdxxxdxx)(1)(1CexCdxexxx二阶常系数线性方程的标准形式)(xfqyypy121212(),()(,)()()(),()(),().yxyxabkyxkyxyxyxyxyx：设为定义在内的两个函数，如果存在非零常数,使得,则称线性相关，否称定则线性无关义12)0(,()yyxpyxqyy设是方程的两个线性无定理关的解，则1122()()()yxCyxCyx12,.CC是方程的通解，其中为任意常数000,0,2222'''qprreqprrqepreereryreyeyqypyyeyreyrxrxrxrxrxrxrxrxrx）（即＋代入上式方程，得，为此，将满足方程，使看能否找到待定常数不妨设02qprr,2422,1qppr特征根0qyypy(1)有两个不相等的实根1,r2r两个线性无关的特解2(40)pq,11xrey,22xrey得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy齐次方程特征方程(2)有两个相等的实根2(40)pq齐次方程的通解为;)(121xrexCCy,11xrey特解为12rxyxe(3)有一对共轭复根1,ri2,ri2(40)pq,cos1xeyx,sin2xeyx齐