材料力学-第6章II 截面几何性质

ShanghaiUniversity材料力学第6章基础篇之六材料力学梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩静矩、形心及其相互关系结论与讨论第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质◆实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。◆不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。为什么要研究截面的几何性质第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质◆不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。NxFANdxAAFzAxMyAdzzxIyMCyAzAyId2FNMzconst.xCyxNdxAAFzAMAyCd2yOzzIMC为什么要研究截面的几何性质第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。为什么要研究截面的几何性质第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质静矩、形心及其相互关系第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AyAzSdzyOdAyzAzAySd——图形对于y轴的静矩——图形对于z轴的静矩静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质ACyAzSzyOdAyzzyOzCCyCAyAzSdAzAySdCzAyS分力之矩之和合力之矩静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AAyASyAzCdCyAzSAyAzSdAzAySdCzAySAAzASzAyCd已知静矩，可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标，可以确定静矩静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AAyASyAzCdAAzASzAyCd如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。静矩、形心及其相互关系如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。静矩、形心及其相互关系第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质对于组合图形niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211niiniCiiyCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2——图形对y轴的惯性矩——图形对z轴的惯性矩——图形对yz轴的惯性积——图形对O点的极惯性矩zyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AIiyyAIizz——图形对y轴的惯性半径——图形对z轴的惯性半径zyOdAyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2＞0＞0或＞0＞0＜0zyOdAyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AyAzId2AArId2PAzAyId2zyIIIPzyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPrrAdπ2d64πdπ2214202drrrd4Pπ232yIdIAzyArIIId2122PdrdrdACyz例题1解：取圆环微元面积惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhzdzdAydydA解：取平行于x轴和y轴的微元面积ddAbyddAhz32222dd12hhzAbhIyAyby32222dd12bbyAhbIzAzhz例题2惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质AzyOdAyzO´y1=y＋az1=z＋b已知：Iy，Iz，Iyz求：Iy1，Iz1，Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211y1z1ab惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质y1=y＋az1=z＋bAzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211AzyAzAyAbzayIAayIAbzIddd112121abAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122zyOdAO´yzy1z1ab惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质abAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0abAIIAaIIAbIIyzzyzzyy112121惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质abAIIAaIIAbIIyzzyzzyy112121因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。惯性矩与惯性积的转轴的概念惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴公式惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质已知：Iy，Iz，Iyz,α求：Iy1，Iz1，Iy1z1zyOαα惯性矩与惯性积的转轴公式惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质zyOαα11cos2sin222cos2sin222zyzyyyzzyzyzyzIIIIIIIIIIII11sin2cos22yzyzyzIIIIdAyzd0yzAIyzAzyO惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质dAd0yzAIyzAyzzyOzyOdAzy惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质00d0yzAIyzAzyOα0α0如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principalaxes）。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principalmomentofinertiaofanarea）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。惯性矩与惯性积的转轴定理第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质00d0yzAIyzAzyOα0α0可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质00d0yzAIyzAzyCα0α0图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质00d0yzAIyzA工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。zyCα0α0形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质zyCα0α0主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定:zyyzIII2tan2022min0max04212yzzyzyzyIIIIIIIII主轴与形心主轴,主惯性矩与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=0当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个简单图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz和Iyz。计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。确定形心主轴的位置，即形心主轴与z轴的夹角。组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质例题3已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩5027030300组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质解：1．将所给图形分解为简单图形的组合C1ⅠⅡC25027030300组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章梁的弯曲问题(2)——截面的几何