材料力学9 - 应力状态分析与强度理论

第七章应力和应变分析强度理论§7.1应力状态概述一、问题的提出轴向拉压：max扭转：max强度条件弯曲：maxmax腹板翼缘工字形截面梁腹板与翼缘交结点的应力：——正应力——切应力两者均较大如何分析该点的强度？研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论---theoryofstrength,failurecriterion)的基础。本章将研究Ⅰ.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；Ⅱ.平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及这类应力状态下的应变能密度(strainenergydensity)；Ⅲ.强度理论。P二、一点应力状态的概念轴向拉伸：应力单元体2cos2sin2可见：同一点不同截面上的应力情况是不同的。同一点所有截面上的应力情况集合——称为一点的应力状态PPAPPPpntp单元体（Element）dx,dy,dz01.每个面上应力均匀分布；2.相互平行的面上应力相同；点3.通过研究单元体不同斜截面上的应力来分析该点的应力状态。三、一点应力状态的表示PP应力状态的研究方法:1.选取一个单元体（含几个应力已知的特殊面），这个过程常称为一点应力状态的描述。2.研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，就是应力状态分析。同一点所有截面上的应力情况集合——称为一点的应力状态应力状态的几个概念：主平面：切应力为零的平面；主应力：过一点主平面上的正应力；主方向：主平面的法线方向。三、一点应力状态的表示（续）过一点某单元体上各面的应力已知，则过该点其它面上应力也就完全确定了。mmPABCDEABCDE可以证明:四、应力状态分类：可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。123对应三个主应力：123按其代数值大小排列：321三向（空间）应力状态:xyzxyyxyzzyzxxzxyxyxxy单向应力状态纯剪应力状态应力状态分类：二向（平面）应力状态:§7.2二向和三向应力状态的实例1、二向应力状态实例1圆筒形薄壁压力容器，内径为D、壁厚为t，承受内力p作用tpD2tpD4042321tpDtpDpp圆球形薄壁容器，壁厚为t，内径为D，承受内压p作用。12340pDtNApDDt24pDt4p二向应力状态实例2§7.3二向应力状态分析——解析法xyxyyxxxyyyyxx1.任意一点二向应力状态的表示方法yyxxyx——法线平行于x轴面上正应力和切应力——法线平行于y轴面上正应力和切应力xy——第一个角标x表示切应力作用面的法线方向；第二个角标y表示切应力的方向。xyyx应力的正负号规定：xy——正应力以拉为正，压为负；——切应力对单元体中任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；yyyxxxxyyxn2.平面应力状态任意斜截面上的应力yyxxxynAAsinAcosσ：拉应力为正τ：顺时针转动为正α：逆时针转动为正n:cos)cos(sin)cos(dAdAdAxxy0sin)sin(cos)sin(dAdAyyxt:sin)cos(cos)cos(dAdAdAxxy0cos)sin(sin)sin(dAdAyyx考虑到yxxy化简整理求得：2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx——平面应力状态任意斜截面上应力计算公式表明：若σx、σy、τxy已知，则σα、τα完全可确定。2.平面应力状态任意斜截面上的应力(续)yyyxxxxyyxn3、极值应力及主应力若时，能使00dd则σα取极值的函数。都是和便可以确定正应力和剪应力的极值确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyxdd2222xyxsincos若时，能使00ddxyx222000sincosyxxy22tan03、极值应力及主应力(续)（1）正应力极值、主应力maxminxyxyx2222o0090＋、能使的截面上恰好0dd0所在平面即为主平面minmax、tan220xxy3、极值应力及主应力(续)dd()cossinxyx222若时，能使10dd()cossinxyx222011xyyx22tan1（2）切应力极值确定两个相互垂直的平面：o1190＋、一个是最大切应力所在平面，另一个是最小切应力所在平面maxminxyx2220012ctg2tan12tan229010即1045最大、最小切应力所在平面与主平面夹角为45o2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx一、应力圆xyxyx22221cossin()xyxyx22222222020)()(Ryyxx§7.4二向应力状态分析——图解法2sin2cos22xyxyx（2）2cos2sin2xyx得22)2()1(圆周坐标值代表应力单元体中任意斜截面上的应力22202xyxyx半径为，圆心坐标为应力圆莫尔(Mohr)圆xyxyx222222一、应力圆(续)OC(a)xxD,1yyD,2应力圆实际上可如图a所示作出，亦即使单元体x截面上的应力x,x按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力y,y(取y=-x)定出点D2，然后连以直线，以它与轴的交点C为圆心，并且以或为半径作圆得出。1CD2CDxyxyx222222用应力圆求任意斜截面上的应力(,)2(,)yy(,)xxyyyxxxxyyxn几种对应关系：点面对应——应力圆上点的坐标值对应微元某一斜面上的正应力和切应力；二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；用应力圆求极值应力和主应力(,)yy(,)xxyyyxxxxyyxnmaxminxyx222maxminxyxyx2222（2）切应力极值（1）正应力极值、主应力CDAB222xyx半径为2yxO用应力圆求主平面位置(,)yy(,)xxyyyxxxxyyxnAB2yxOo2yxx22tan0ooBAc2×45º2×45ºDEx2222maxa单向拉伸应力状态的应力圆ob纯剪切应力状态的应力圆a(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45ºmax=min＝BE例1：分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。单位：MPaxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.解：(一)使用解析法求解xyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或min65max1050(二)使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.例3：求图示应力状态的主应力和最大剪应力(应力单位为Mpa)。123MPaMPaMPaMPa50505025013max解：505050例:各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。MPa40MPa2030MPa3060MPa30MPa5030MPa50MPa2045MPa50MPa50MPa40MPa2030MPa25MPa26MPa201MPa40302MPa20xMPa40y0xy60MPa3060MPa304513MPa26MPa15MPa301MPa303020x0yMPa30xy30MPa5000150yx??MPa/MPa/oMPa5030MPa500xy30MPa50xMPa50yMPa2045MPa50MPa5053390MPa613MPa411MPa40MPa10MPa411MPa30302533900xMPa20yMPa50xy452sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxyyyxxxxyyxn若时，能使00ddyxxy22tan0maxminxyxyx2222若时，能使10ddxyyx22tan1