材料力学9压杆稳定

第九章压杆稳定目录§9.1压杆稳定的概念§9.2两端铰支细长压杆的临界压力§9.4欧拉公式的适用范围经验公式§9.5压杆的稳定校核§9.6提高压杆稳定性的措施§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力压杆—承受轴向压力的直杆。木结构中的压杆脚手架中的压杆§9.1压杆稳定的概念第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为例如:一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为20mm1mm。钢的许用应力为[]=196MPa，按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为F≤A[]=3.92kN实际上，当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然发生明显的弯曲变形,丧失了承载能力。可见，其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度，而是与受压时变弯有关。][maxNmaxσAFσ问题的提出此结论只适用于短粗杆压杆的稳定性——压杆保持原有直线形状平衡状态的能力。失稳——压杆的直线形态的平衡开始丧失稳定性。细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀即为理想中心压杆。抽象的细长中心受压直杆F§9.1压杆稳定的概念目录稳定平衡、不稳定平衡、临界载荷的概念平衡状态的稳定性小球原有的平衡具有稳定性。小球原有的平衡不具有稳定性。平衡是稳定的平衡是不稳定的随遇平衡压杆平衡的稳定性：（1）FFcr（3）F=FcrFF压杆原有的直线平衡形式不是稳定的。压杆不具有稳定性Fcr压杆的直线平衡形式为过渡状态。临界状态Fcr临界载荷FFcr压杆失效F压杆原有的直线平衡形式是稳定的。压杆具有稳定性（2）FFcr§9.1压杆稳定的概念细长中心受压直杆失稳现象2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至导致整个结构破坏1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.1、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压杆失稳的最小力。由上述讨论得：2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。压杆的稳定问题转化为求临界载荷的问题。FFxwwxABFFxwMMFw代入挠曲线近似微分方程()EIwMxFw令EIFk220wkw该微分方程的通解为式中A、B为积分常数杆的边界条件代入通解得wAsinkxBcoskx00xw0xlwB＝0Asinkl0A≠00sinkl........3,2,1nnkl222lEInFnwAsinxl利用挠曲线微分方程求临界载荷。§9.2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分方程求临界载荷。C12l2lFFxwABwx222lEInFnwAsinxl讨论：1、n=0，没有意义。2、n=2、3时，挠曲线如图。n=2n=3中间没有支座，压杆不会弯成这种形状。3、临界载荷是压杆失稳的最小力。n只能等于1。22lEIFcr4、挠曲线方程wAsinxlA为挠曲线中点的挠度。1、适用条件：理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）线弹性，小变形两端为铰支座§9.2两端铰支细长压杆的临界压力----欧拉公式2、21lFcrEIFcr杆长，Fcr小，易失稳刚度小，Fcr小，易失稳例1：已知圆截面Q235细长压杆，直径为50mm，长为1.5m，E＝200GPa。计算其临界载荷。解：.Idmm44431450306640646422lEIFcrNkN232200103066402687422691500CrFMPaA3242691013850对应临界状态应力为临界状态应力远小于屈服极限240MPa，甚至小于比例极限200MPa。由此看来稳定问题与强度问题截然不同。§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力一端固定一端自由22cr)2(lEIF对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：1、从挠曲线微分方程入手2、比较变形曲线ABCll目录§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力lABC0.7lcrF4l4lABCD2lcrF两端固定22cr)5.0(lEIF一端固定一端铰支22cr)7.0(lEIF目录§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力长度系数（无量纲）相当长度（相当于两端铰支杆）l欧拉公式的普遍形式：2)(2lEIπFcr两端铰支22cr)(lEIFxlyOFxF目录§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力目录a杆：l=2l1=2l1c杆：l=0.71.8l1=1.26l1d杆：l=0.52l1=l1例2：细长四杆，弹性模量E和直径d相同。当压力由0以相同的速度增加时，哪个杆先失稳（稳定性最差）？哪个杆稳定性最好。22)l(EIFcr解：均为细长杆，可用欧拉公式Fcr小，稳定性差，最易失稳。比较l2l11.4l1l11.8l1(a)(b)(c)(d)b杆：l=11.4l1=1.4l1结论：a杆l最大，Fcr最小，最先失稳。d杆l最小，Fcr最大，稳定性最好。xyzhb运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。FF例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？（绕哪个轴转动）矩形截面,1213bhIz3121hbIyyzII首先在xz平面内绕y轴失稳弯曲。⑵当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，22cr5.0πlEIFz对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，22crπlEIFy而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销22)l(EIFcr细长压杆的临界载荷公式。若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。xyzyzlyzbh例：细长压杆，材料为Q235，l=4m,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求临界载荷。解：141562500mmN)(Fcr1925704000156250010200232若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别计算临界载荷取较小的值。（后面举例）3min50150121IIFFlP例2：细长杆由两个No10槽钢组成。l＝6m，弹性模量E=210GPa，（1）两个槽钢紧靠在一起如图1；（2）两个槽钢拉开距离a如图2，使Iz＝Iy。分别求两种情况压杆的临界载荷。yz（1）yz（2）解：图1Iz=2Ix＝2×198.3＝396.6cm4Iy＝2Iy1＝2[I’y+a2×A]＝2×54.9＝109.8cm4Ix＝198.3cm4Iy＝25.6cm4A＝12.74cm2Iz所以，按Iy计算临界载荷crEIF.l2207.N.23322101010981012888076000xy1.52xyy1y1Iy1＝54.9cm4lP例2：细长杆由两个No10槽钢组成。l＝6m，弹性模量E=210GPa，（1）两个槽钢紧靠在一起如图1；（2）两个槽钢拉开距离a如图2，使Iz＝Iy。分别求两种情况压杆的临界载荷。yz（2）解：图2Iz=Iy=2Ix＝2×198.3＝396.6cm4Ix＝198.3cm4Iy＝25.6cm4A＝12.74cm2所以crEIF.l2207N.2332210103961046480076000xxyy1.52y1y1Iy1＝54.9cm4lP例2细长杆由两个No10槽钢组成。l＝6m，弹性模量E=210GPa，（1）两个槽钢紧靠在一起如图1；（2）两个槽钢拉开距离a如图2，使Iz＝Iy。分别求两种情况压杆的临界载荷。yz（1）yz（2）解：图1crFN12888crFN46480改善截面形状，可增大临界载荷，即增大了稳定性。图2一、欧拉公式的适用范围在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限p的情况。按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按cr＝Fcr/A来计算，亦即(a)π/ππ222222crcrEilEAlEIAF§9.4欧拉公式的适用范围经验公式式中，cr称为临界应力；为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；l/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比或柔度，记作，即AIi/μlλ=i关于长细比（柔度）：1、无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Fcr的影响。2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于。大，稳定性差。3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同，则不同，计算临界载荷（应力）时，取较大的值。4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使2211ilil22Ecr几种常见截面的惯性半径i•圆截面•空心圆截面•矩形截面•正方形截面424644IddiAd44222(1)4164(1)4IDDiAD3(1223yyIhbbibyAbh为垂直于的尺寸）421223IaaiAa二、大柔度杆（细长杆）欧拉公式EIMEIM1EP弹性范围：所以：PcrE22从而：PE2对于A3钢（Q235）E＝210GPa，σP＝200MPa。PE21021对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当大于102时才可用欧拉公式计算临界载荷。当大于1时才可用欧拉公式计算临界载荷。由此可见：称大于1的压杆为细长杆或大柔度压杆。1就是压杆使用欧拉公式的最小柔度。三、中、小柔度的压杆实际中的压杆，往往小于1。当1，crP，欧拉公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑性稳定。临界应力常常采用经验公式：bacra、b为材料常数，单位MPa.为实际压杆的柔度，仍由计算。il表9.2由知，越小，cr越大。当小于某值时，bacrscr压杆的强度不允许。scrba所以，直线公式当成立。即bas2材料常数因此，当2≤≤1时可以用直线公式。2304235616112sa.b.对于A3钢（Q235）σs＝235MPa。12.1304cr称2≤≤1的杆为中柔度杆。称2的杆为小柔度杆（短粗杆）由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此类杆不会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：极限应力cr塑性材料：s脆性材料：b当2，2sabscrbail•压杆柔度AIiμ四种取值情况，•临界柔度PE21P—比例极限bas2s—屈服极限2(小柔度杆)21(中柔度杆)•临界应力1(大柔度杆)欧拉公式22Ecrbacr直线公式强度问题scr总结目录cr22Ecr越大，压杆的临界应力越小，稳定性越差。Ps四、临界应力总图21scrbacr小柔度杆中柔度杆大柔度杆对于脆性材料，需要把。换成bs建筑业中，计算中小柔度压杆的临界应力常采用统一的抛物线形式经验公式：211