材料力学_附录1平面图形的几何性质(刘鸿文第五版)

平面图形的几何性质§1-1静矩和形心§1-2惯性矩惯性半径§1-3惯性积§1-5转轴公式主惯性轴主惯性矩形心主惯性轴及形心主惯性矩§1-4平行移轴公式§1-1静矩和形心一、静矩oyzyzAydAzSAzdAyS量纲：长度三次方dA微面积对z轴的静矩：ydA微面积对y轴的静矩：zdA整个平面图形对z、y两轴的静矩：表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。oyzC形心C的坐标：ASdAzdAzyASdAydAyzzyzASyyASz若和，则和。可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。0zS0yS0z0y二、组合图形的静矩和形心常见的一些组合图形整个图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。IIIIIIAAAA,11miiimiyiyzASSniiniiizAyAASy11niiniiiyAzAASz11,11miiimizizyASS例1：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。zhyb122yzO解：zhyb122ydybhyzO4152bhSyAzAdyhybyb0221dbh24220(1)byySzdAhydzbAAAd形心坐标为:ySAbhbhbCz242338zSAbhbhhCy415232520221bhybyd23bh例2：确定图示图形形心C的位置。解：ySACzzSACy1012060701051200700397.mm1012057010451200700197.mm例3：求图示阴影部分面积形心的位置。解：形心在对称轴上微面积，截面为矩形ABCD（A1）减去abcd（A2），底边CD为参考轴。211.40.861.204Ammm22(0.8620.016)(1.40.050.016)1.105Amm11.40.72mZm21(1.40.050.016)0.050.72Zmmm1122120.510AZAZZmAA注：面积A2以负值带入§1-2惯性矩惯性半径oyzyzdA一、惯性矩、惯性半径Ay2dAzIAz2dAyI量纲：长度四次方微面积对z轴的惯性矩：y2dA微面积对y轴的惯性矩：z2dA整个平面图形对z、y两轴的惯性矩：工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即或改写为2yyAiI2zzAiIAIiyyAIizzyizi式中，、分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。AAId2oyzyzdA平面图形对坐标原点的极惯性矩：zyAAAAIIAdyAdzAdzyAdI22222图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。例4求图示矩形的对其对称轴y和z的惯性矩yzbhzdzcdAzIAy22233hhzb3121bhdAyIAz23121hbdAbdzdAhdy思考题：由于计算公式完全相同，计算结果bhyyI3121bh结论：由于计算公式完全相同，计算结果与例三一致例5求图示圆形对其形心轴的惯性矩yzdAPdAI24321dpzyIIIzyIIzyIIpI214641d例4求圆环圆形的yzI,I小大PPPIII44321321dD)(D441321Dd)1(64144DdDyz12yzzzIIII大小（-）三、组合图形的惯性矩根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和。用公式可表示为1nyyiiII1nzziiII§1-3惯性积oyzyzdA平面图形对y、z两轴的惯性积：AyzAyIzd量纲：长度四次方yz两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零§1-4平行移轴公式yczcyczcOyzzy求:,,,yzyzIII已知：CzyyzCCCI,I,I解：,zzzC,yyyCdAyzCdAzIAy2dA)zz(AC2dAzdAzzdAzAACAC222CyIycSz2Az2CyIAz20AzIICyy2AyIICzz2dAyzIAyzdA)yy)(zz(ACCdAzydAyzdAzydAzyAACACACC0AzyICCzyyczcyczcOyzzydAyzC0平行移轴公式AzIICyy2AyIICzz2AzyIICCzyyz注意：（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.例6：T字形截面,求其对形心轴yc的惯性矩。212211AAzAzAz02010020140002010080020140.........m04670.46231m1069714002004670080140020121.......ICy464232m10434m020100467002010121......ICyz4666m1012121043410697...ICyoyzAdAyz1z1y1y1z设一平面图形,已知求,,,,,yzyzIIIA1111,,zyyzIII解:sincos1zyysincos1yzzAydAzI211AdAyz2)sincos(AdAz22cosAyzdAcossin2AdAy22sin22sin2sincoszyzyIII§1-5转轴公式主惯性轴主惯性矩形心主惯性轴形心主惯性矩oyzAdAyz1z1y1y1z同理22sin2sincos1yyzzzIIII改写为2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2sin2cos221yzzyzyyIIIIII21cos(1cos2)221sin(1cos2)2oyzAdAyz1z1y1y1zAzydAzyI1111AdAyzzy)sincos)(sincos(AdAyzcossin)(22AyzdA)sin(cos222cos2sin)(21yzzyIIIoyzAdAyz0z0y00若,000zyI则轴称为主惯性轴（主轴）。00,zy如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。对主惯性轴的的惯性矩称为主惯性矩。方向的求解:002cos2sin)(210000yzzyzyIIIIzyyzIIItg220代入,得主惯性矩为002sin2cos220yzzyzyyIIIIII002sin2sin220yzzyzyzIIIIII求minmax,II02cos22sin)(1yzzyyIIIddIzyyzIIItg2202tg因此主惯性轴的惯性矩即过O点各轴中的惯性矩极值.00,zyII可求得:00max2sin2cos22yzzyzyIIIIII00min2sin2sin22yzzyzyIIIIII0zI0yI主惯性轴：主惯性矩：惯性矩有极值，惯性积为零的轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性轴：形心主惯性矩：通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。对形心主惯性轴的惯性矩。求截面形心主惯性矩的基本步骤：例7试求图示图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩。由于图形有对称中心c，故点c即为图形的形心。以形心c作为坐标原点，平行于图形棱边的y、z轴作为参考坐标系，把图形看作是三个矩形Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的组合图形。解：①确定形心位置矩形Ⅰ的形心c1与c重合。矩形Ⅱ的形心c2的坐标为(-35,55)。矩形Ⅲ的形心坐标为(35,-55)。②计算图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积：44233IIIyIIyΙyymm10508)1060(5512106021212010)()()(IIII44233IIIzIIzΙ)zzmm10184)1060(3512601021210120)((IIII44IIIyzIIyzΙyzyzmm102311060)3555(1060)5535(0)()(IIII③确定形心主惯性轴的位置426.11018410508)10231(222tan444zyyz0III解得9.54209.23420或4.2704.1170或由于0为正值，故将y轴绕点逆时针旋转27.5度，即得到形心主惯性轴y0和z0的位置。④求形心主惯性矩44422yz2zyzymaxymm1062810)231()2184508()184508(21)()2()(210IIIIIII444222yz2zyzyminzmm106410)231()2184508()184508(21)()2()(210IIIIIII如何确定对哪个轴的惯性矩最大，对哪个轴的惯性矩最小？（一）代入法（二）通过比较的大小CCzyI,ICzyIIC0maxyIICzyIIC0maxzIITHEEND