具有脉冲跳跃的离散时间马尔科夫切换系统的指数稳定性

具有脉冲跳跃的离散时间马尔科夫切换系统的指数稳定性∗高丽君，武玉强(曲阜师范大学自动化研究所曲阜273165)(Email:[e-mail])摘要考虑了一类具有脉冲跳跃的离散时间马尔科夫切换系统的指数稳定性,给定跳跃系统包含了稳定子系统和不稳定子系统．应用平均驻留时间的概念,通过将跳跃系统的激励时间划分为稳定子系统的激励时间和不稳定子系统的激励时间,证明了在脉冲作用的影响下,只要跳跃系统的平均驻留时间以及稳定子系统与不稳定子系统的平均激励时间之比适当大,仍然可以保证跳跃系统是指数稳定的,并具有期望的稳定裕度．关键词跳跃系统,指数稳定性,马尔科夫过程,平均驻留时间MR(2000)主题分类号76M35，93E15EXPONENTIALSTABILITYOFDISCRETETIMEMARKOVSWITCHEDSYSTEMSWITHIMPULSIVEJUMPGaoLijun,WuYuqiang(InstituteofAutomation,QufuNormalUniversity,Qufu,273165)(Email:[e-mail])AbstractTheexponentialstabilityofaclassofdiscretetimeMarkovswitchedlinearsystemswithimpulsivejumpisstudied.Thegivenjumpsystemsarecomposedofstablesubsystemsandunstablesubsystems.Basedontheaveragedwelltimeconceptandbydividingthetotalactivationtimeintothetimewithstablesubsystemsandthetimewithunstablesubsystems,itisshownthatiftheaveragedwelltimeandtheratiooftheexpectationofactivationtimewithstablesubsystemstotheexpectationofactivationtimewithunstablesubsystemsareproperlylarge,thegivenjumpsystemisexponentiallystablewithadesiredstabilitymarginevenifthereexistsimpulseattheswitchedmoments.KeywordsJumpsystems,exponentialstability,Markovprocess,averagedwelltime1引言考虑如下形式的离散时间跳跃线性系统)())(()())(()1(tutBtxtAtxσσ+=+(1)或者连续时间跳跃线性系统()(())()(())()xtAtxtBtutσσ=+(2)其中)(tσ通常是一个有限状态时间齐次马尔科夫过程.模型(1)和(2)可以用来描述一大类受控系统,例如系统发生突然变化(如组件和相互关联的断开).在一些控制系统的设计和分析中,模型(1)和(2)的稳定性分析是非常重要的.1∗基金项目：国家自然科学基金资助项目(60574007,60674027)和博士学科点专项科研基金资助课题(2005446001).对具有马尔科夫过程的跳跃线性系统稳定性的研究得到国内外专家的关注,其研究的主要侧重点是考虑几乎处处稳定性和−δ矩稳定性.对−δ矩稳定性有多种不同的定义：−δ矩稳定性,指数−δ矩稳定性，随机−δ矩稳定性.关于矩稳定性,文[1]通过Lyapunov第二方法研究了离散时间跳跃线性系统的二阶矩稳定性,得到了受控系统二阶矩稳定性的充要条件.对系统(2),文[2]证明了所有的−δ矩稳定性定义是等价的,并得到,对于充分小的0δ,−δ矩稳定性和几乎处处稳定性是等价的.对一般的切换系统,在切换时刻,系统的状态并不发生跳变,即系统并没有受到脉冲作用的影响.文[3][4]通过设计切换机制分析切换系统的指数稳定性.文[3]研究了一类仅包含稳定子系统的连续时间切换系统的指数稳定性,证明了当切换信号的驻留时间(连续两次切换之间的时间)充分大时,整个切换系统是指数稳定的．文[4]进一步研究了一类包含稳定和不稳定子系统的连续时间切换系统的指数稳定性,证明了当驻留时间充分大,稳定系统的总激励时间相对较长时,整个切换系统是指数稳定的．文[5]进一步发展了文[3]驻留时间的概念,提出了平均驻留时间的概念,并证明了当平均驻留时间充分大时,文[3]中的系统仍然是指数稳定的．文[4,6]研究了切换系统包含稳定子系统和不稳定子系统的情况,通过将整个切换系统的激励时间划分为稳定子系统的激励时间和不稳定子系统的激励时间两部分,证明了当平均驻留时间和稳定子系统的激励时间与不稳定子系统的激励时间之比充分大时,切换系统是指数稳定的．类似于文[6]的结果,文[7]研究了一类离散时间切换系统的指数稳定性．上述研究很少考虑到具有马尔科夫过程的离散时间跳跃系统．在实际系统中往往因为跳跃而产生脉冲作用．本文研究一类具有脉冲跳跃的离散时间马尔科夫切换系统的指数稳定性,并且假设给定跳跃系统包含了稳定子系统和不稳定子系统．应用平均驻留时间的有关结果,证明了当跳跃系统的平均驻留时间以及稳定子系统与不稳定子系统的平均激励时间之比适当大,给定跳跃系统是指数稳定的,并具有期望的稳定裕度．最后,通过数值算例验证了本文算法的正确有效性.2问题提出考虑如下的具有马尔科夫过程的离散时间跳跃系统0)()0(),()1(xxkxAkxk==+σ，(3)},1,0{=∈+Zk其中为系统状态,nRkx∈)()(kσ是一个有限状态时齐马尔科夫链，其状态空间为，转移概率矩阵为，初始分布为.在某一时刻,当},,2,1{sS=ssijpP×=)(),,,(21spppp=kSiik∈=,)(σ时,系统(3)对应的跳跃到第个子系统.为了使讨论更具有一般性,假设系统矩阵中既包含了稳定矩阵又包含了不稳定矩阵.i)1()(siiA≤≤设表示第i个切换时刻,并且在该时刻,系统的状态因脉冲作用而按照如下的规律发生跳跃[7]ik(4))())(),(()(1iiiikxkkDkx++=σσ其中为重置映射(resetmap),反映了跳跃给系统(1)的状态轨迹带来的影响.如果则说明跳跃系统(3)的状态轨迹在切换时刻是连续的,即没有脉冲作用发生.如果,则称系统状态发生了完全跳跃.),(⋅⋅D,),(ID=⋅⋅0),(=⋅⋅D3预备知识对任意的矩阵,设以及nnijRaA×∈=][)(,AATλA分别表示其转置矩阵、特征值和范数.当矩阵的每一个元素都有界,我们规定矩阵有界.AA2[8]对某一马尔科夫链)0)((kkσ,如果对任意的和任意的初始分布nRxx∈=0)0(p,存在一个常数以及0c10λ,使得系统(3)(4)的状态满足)(kx{})0()(0≥≤kxckxEkλ,则称给定跳跃系统是指数稳定的,并具有稳定裕度λ,其中范数⋅定义为Euclidean范数.注1一般地,全局指数稳定性是指对于任意的初始状态,状态满足:)0(x)(kx{}0)(xcekxEkδ−≤,.令,即可以得到0δδλ−=e{})0()(0≥≤kxckxEkλ且10λ.因而定义1是合理的.为此,我们引入离散时间跳跃系统平均驻留时间的概念.定义2对某一马尔科夫链)0)((kkσ,记表示i)(kσ在区间上的跳跃次数.对于给定的常数[)k,0)0(aaττ,若kia≤⋅τ(5)则称aτ为平均驻留时间.其基本思想是,系统任意连续两次跳跃之间的时间区间长度至少为aτ,即系统在每一个时间段上运行时间至少为aτ.引理1[9]设表示维Euclidean空间NnnR上所有范数所组成的集合,则nnxNRAAxA×=∈⋅∈∀⎭⎬⎫⎩⎨⎧=,supinf)(1ρ,若1)(Aρ,则一定存在由nR上某范数所诱导的矩阵范数⋅,使1A(6)且满足1)(Aρ的矩阵称为稳定阵.A引理2[9]有限维线性空间ℜ上的任何两个范数1⋅和2⋅都是等价的,即必有正常数存在,使012ccℜ∈∀≤≤xxcxxc,12211(7)引理3若)(kσ是一个有限状态马尔科夫链，其状态空间为,转移概率矩阵是,初始分布为,则},,2,1{sS=ssijp×)(),,,(21sppp⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=∑++111),,,(21222211121121),,,(1211211##%##isssssssrrrrrrrrpppppppppppppppiii.(8)3得证.引理4若)(kσ是一个有限状态马尔科夫链，其状态空间为,转移概率矩阵是,初始分布为,则},,2,1{sS=ssijp×)(),,,(21spppDFGpppirrrrrrrriii=∑++),,,(1211211(9)有界,即有界,其中.iG⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==111,),,,,(21222211121121##%##DpppppppppGpppFsssssss证明（用数学归纳法来证明此结论）1当时，，由于有界，故亦有界,结论得证.1=i⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==∑11),(2221121121),(21211pppppppprrrrr)2,1,(1,0=≤≤jippiji⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===22211211ppppGGi2假设当时结论成立,即有界1−=ki1−kG不妨假设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−sssssskaaaaaaaaaG#%##21222211121111−kG有界意味着每一个元素都有界，即有界,则任意的定义,),,1,(sjiaij=,i,1sj≤≤Masjij=∑=1其中M是一大于0的常数.于是⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=sssssssssssskpppppppppaaaaaaaaaG#%###%##212222111211212222111211⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++++++++++++++++++++=sssssssssssssssssssssssssssssssssssspapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapapa#%##221122221211212111222212122222212211221221121121211121221212111121121111则定义第i行的元素和为Φ111221111222221122iiissiiissisisisssapapapapapapapapapΦ=++++++++++++4)s11112122122212()(()isiisssssapppapppappp=++++++++++++由马尔科夫链的性质得,对任意的,则1,1=∈∑=sjijpSiMaaaisii=+++=Φ21由此得出Φ有界,又由于的每一个元素都是非负的,故第行的每一个元素都有界,又由于i是任意的,则的每一个元素有界.证毕.ΦikG类似于文[10]对于连续系统的系统矩阵满足(),ABKtLteMetλλ+−≤∀0,相应地,对于离散系统的系统矩阵,下面的矩阵范数不等式对本文主要结果的证明起着至关重要的作用.引理5任给矩阵,对于任意的和任一定义在空间nnAR×∈0εnnR×的范数⋅,存在一个常数满足0M,kkAMkα≤∀0(10)其中max()Aαλε=+.当为稳定矩阵时,即Amax()1Aλ时,有121211,,0,kkkAMααααααα