高一数学向量知识点

第五章知识点回顾一、本章知识1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）2121yyxx(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)abxxyyabba()()abcabcACBCAB向量的减法三角形法则1212(,)abxxyy()ababABBA,ABOAOB数乘向量1.a是一个向量,满足:||||||aa2.0时,aa与同向;0时,aa与异向;=0时,0a.(,)axy()()aa()aaa()abab//abab向量的数量ab是一个数1.00ab或时，0ab.1212abxxyyabba()()()ababab()abcacbc2222||||=aaaxy即积2.00||||cos(,)abababab且时，||||||abab4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段21PP所成的比为λ，即PP1＝λ2PP，则OP＝111OP＋112OP(线段的定比分点的向量公式).1,12121yyyxxx(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP＝21（1OP＋2OP）或.2,22121yyyxxx(5)平移公式设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则PO＝OP+a或.,kyyhxx向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：abbarrrr2、向量加法的结合律：()()abcabcrrrrrr3、向量乘积的结合律：()()aarr4、向量乘积的第一分配律：()aaarrr5、向量乘积的第二分配律：()ababrrrr二、平面向量的基本定理如果1eur、2eur是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一ar，有且只有一对实数1、2，使得1122aeerurur。（1）我们把不是共线的1eur、2eur叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一ar在给出基底1eur、2eur的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1、2是被ar、1eur、2eur唯一确定的数量。三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)axyr，22(,)bxyr，则1212(,)abxxyyrr，1212(,)abxxyyrr，1212(,)abxxyyrr。2、已知11(,)Axy，22(,)Bxy，则22112121(,)(,)(,)ABOBOAxyxyxxyyuuruuruur。3、已知11(,)axyr和实数，则1111(,)(,)axyxyr。四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）：基本定理：ar、br互相平行的充要条件是存在一个实数，使得abrr。定理：已知11(,)axyr，22(,)bxyr，则ar∥br的充要条件是01221yxyx。2、垂直：基本定理：ar、br互相垂直的充要条件是0abrr。定理：已知11(,)axyr，22(,)bxyr，则ar⊥br的充要条件是02121yyxx。五、平面向量的数量积定义：非零向量ar、br，它们之间的夹角为，则cosabrr就称作ar与br的数量积，记作abrr，即有cosababrrrr，0。性质：非零向量ar、br的夹角为，er是与br同向的单位向量，那么（1）cosaeeaarrrrr；（2）0ababrrrr；（3）2aaarrr或aaarrr；（4）cosababrrrr；（5）ababrrrr。数乘结合律：()()()abababrrrrrr分配律：()abcacbcrrrrrrr六、向量的长度、距离和夹角公式（1）已知11(,)axyr，则222axyr，即22axyr。（长度公式）（2）已知11(,)Axy，22(,)Bxy，则2121(,)ABxxyyuur，222121()()ABxxyy。（距离公式）（3）已知11(,)axyr，22(,)bxyr，它们之间的夹角为，则121222221212cosxxyyabxxyyabrrrr，0。（夹角公式)