1999―2018年考研数学三真题(无解析)

1999一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1)设()fx有一个原函数sinxx，则2()xfxdx(2)1112nnn(3)设101020101A，而2n为整数，则12nnAA(4)在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)Na.若以nX表示n次称量结果的算术平均值，则为使0.10.95nPXa，n的最小值应不小于自然数(5)设随机变量,1,2,,;2ijXijnn独立同分布，2ijEX，则行列式111212122212nnnnnnXXXXXXYXXX的数学期望EY二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设()fx是连续函数，()Fx是()fx的原函数，则()(A)当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数。(B)当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数。(C)当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数。(D)当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数。(2)设(,)fxy连续，且(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，其中D是由20,,1yyxx所围成的区域，则(,)fxy等于()(A)xy(B)2xy(C)18xy(D)1xy(3)设向量可由向量组12,,,m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)121,,,m线性表示，记向量组(Ⅱ)121,,,m，则()(A)m不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。(B)m不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。(C)m可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。(D)m可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。(4)设,AB为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()(A).EAEB(B)A与B有相同的特征值和特征向量.(C)A与B都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t，tEA与tEB相似.(5)设随机变量101(1,2)111424iXi，且满足1201PXX，则12PXX等于()(A)0.(B)14.(C)12.(D)1.三、(本题满分6分)曲线1yx的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线2,0,2xyy以及曲线22xyy所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，1x和2x分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为122Qxx，其中,为正常数，且1.假设两种要素的价格分别为1p和2p，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？六、(本题满分6分)设有微分方程2yyx，其中2,10,1xxx试求:在,内的连续函数yyx，使之在,1和1,内都满足所给方程，且满足条件00y.七、(本题满分6分)设函数fx连续，且2012arctan2xtfxtdtx.已知11f，求21fxdx的值.八、(本题满分7分)设函数fx在区间0,1上连续，在0,1内可导，且1010,12fff.试证：(1)存在1,12，使f；(2)对任意实数，必存在0,，使得1ff.九、(本题满分9分)设矩阵15310acAbca，且1A.又设A的伴随矩阵*A有特征值0，属于0的特征向量为1,1,1T，求,,abc及0的值.十、(本题满分7分)设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵.已知矩阵TBEAA，试证：当0时，矩阵B为正定矩阵.十一、(本题满分9分)假设二维随机变量,XY在矩形,02,01Gxyxy上服从均匀分布.记0,1,XYUXY，0,21,2XYVXY(1)求U和V的联合分布；(2)求U和V的相关系数r.十二、(本题满分7分)设129,,,XXX是来自正态总体X的简单随机样本，112616YXXX，278913YXXX，9222712iiSXY，122YYZS，证明统计量Z服从自由度为2的t分布.2000一、填空题二、选择题2001一、填空题(1)设生产函数为QALK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为(2)某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以tW表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则tW满足的差分方程是___(3)设矩阵111111,111111kkAkk且秩(A)=3,则k=(4)设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式-6PXY.(5)设总体X服从正态分布2(0,0.2),N而1215,,XXX是来自总体X的简单随机样本，则随机变量221102211152XXYXX服从___分布，参数为_______二、选择题(1)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又'()lim1,xafxxa则()(A)x=a是f(x)的极小值点.(B)x=a是f(x)的极大值点.(C)(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.(2)设函数0()(),xgxfudu其中21(1),012(),1(1),123xxfxxx则g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续(3)设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa210000010,01000001P其中A可逆,则1B等于()(A)112APP(B)112PAP(C)112PPA(D)121PAP.(4)设A是n阶矩阵，α是n维列向量.若秩0TA秩(A)，则线性方程组()(A)AX=α必有无穷多解()BAX=α必有惟一解.()C00TAXy仅有零解()D00TAXy必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于()(A)-1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分5分)设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:2xyexy和0sin,xzxtedtt求dudx四、(本题满分6分)已知f(x)在(−∞,+∞)内可导,且lim'(),xfxelim()lim[()(1)],xxxxcfxfxxc求c的值.五、(本题满分6分)求二重积分221()2[1]xyDyxedxdy的值,其中D是由直线y=x,y=−1及x=1围成的平面区域六、(本题满分7分)已知抛物线2ypxqx(其中p0,q0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1)问p和q为何值时，S达到最大?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).xfkxefxdxk证明：存在ξ∈(0,1),使得1'()2(1)().ff八、(本题满分7分)已知()nfx满足'1()()nxnnfxfxxe(n为正整数)且(1),nefn求函数项级数1()nifx之和.九、(本题满分9分)设矩阵11111,1.112aAaa已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使TQAQ为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，ijA是ijnnAa中元素ija的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA(1)记12(,,),nAxxx把1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA写成矩阵形式，并证明二次型()fX的矩阵为1A;(2)二次型()TgXXAX与()fX的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是标准正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U={X−Y}的概率密度().pu2002一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴设常数12a，则21limln[]________(12)nnnnana.⑵交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydyfxydxdyfxydx.⑶设三阶矩阵122212304A，三维列向量(,1,1)Ta。已知A与线性相关，则______a。⑷设随机变量X和Y的联合概率分布为Y概率X10100.070.180.1510.080.320.20则2X和2Y的协方差22(,)_______CovXY。⑸设总体X的概率密度为(),(;)0,xexfxx而12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_______二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设函数()fx在闭区间[,]ab上有定义，在开区间(,)ab内可导，则（A）当()()0fafb时，存在(,)ab，使()0f（B）对任何(,)ab，有lim[()()]0xfxf（Ｃ）当()()fafb时，(,)ab，使()0f（Ｄ）存在(,)ab，使()()()()fbfafba⑵设幂级数1nnnax与1nnnbx的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为（Ａ）5（Ｂ）53（Ｃ）13（Ｄ）15⑶设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组0ABx（Ａ）当nm时仅有零解（Ｂ）当nm时必有非零解（Ｃ）当mn时仅有零解（D）当mn时必有非零解⑷设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵1()TPAP属于特征值的特征向量是（A）1P（B）TP（C）P（D）1()TP⑸设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（A）XY服从正态分布（B）22XY服从2分