高中三角函数习题解析精选

1三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A.（1－y）sinx+2y－3=0B.（y－1）sinx+2y－3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0D.－(y+1)sinx+2y+1=01.答案：C解析：将原方程整理为：y=xcos21，因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和1个单位，因此可得y=)2cos(21x－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－2）+2（y+1）－1=0，即得C选项.2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.答案：B解析：sin2α＝2sinαcosα＜0∴sinαcosα＜0即sinα与cosα异号，∴α在二、四象限，又cosα－sinα＜0∴cosα＜sinα由图4—5，满足题意的角α应在第二象限3.（2002上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B4.（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（）A.［2kπ－2，2kπ＋2］（k∈Z）B.［2kπ＋2，2kπ＋23］（k∈Z）C.［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）图4—524.答案：A解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（）A.（4，2）∪（π，45）B.（4，π）C.（4，45）D.（4，π）∪（45，23）5.答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4和45，由图4—6可得C答案.图4—6图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）6.（2002北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2）∪（2，3）C.（0，1）∪（2，3）D.（0，1）∪（1，3）6.答案：C图4—13解析：解不等式f（x）cosx＜0300cos0)(300cos0)(xxxfxxxf或∴1010231xxxx或∴0＜x＜1或2＜x＜37.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2，π）上为减函数的是（）A.y=cos2xB.y＝2|sinx|C.y＝(31)cosxD.y=－cotx7.答案：B解析：A项：y=cos2x=22cos1x，x=π，但在区间（2，π）上为增函数.B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（2，π）上为减函数.C项：函数y=cosx在(2，π)区间上为减函数,数y=（31）x为减函数.因此y=（31）cosx在（2，π）区间上为增函数.D项：函数y＝－cotx在区间（2，π）上为增函数.8.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（）8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数.图4—84选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.9.（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.答案：B解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B.10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（）A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋310.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.（2000全国，4）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）12.答案：D解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2）时，y＝－xcosx＜0.13.（1999全国，4）函数f（x）=Msin（ωx＋）（ω＞0），在区间［a，b］上是增函数，且f（a）=－M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx＋）在［a，b］上（）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m513.答案：C解法一：由已知得M＞0，－2＋2kπ≤ωx＋≤2＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋＝2kπ时g（x）可取到最大值M，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，＝0，区间［a，b］为［－2，2］，M＝1，则g（x）为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y=Asin（ωx＋）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.（1999全国，11）若sinα＞tanα＞cotα（－2＜α＜2)，则α∈（）A.（－2，－4）B.（－4，0）C.（0，4）D.（4，2）14.答案：B解法一：取α＝±3，±6代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－6适合，又只有－6∈（－4，0），故答案为B.解法二：先由sinα＞tanα得：α∈（－2，0），再由tanα＞cotα得:α∈（－4，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.15.（1999全国文、理，5）若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x15.答案：B解析：取f（x）=cosx，则f（x）·sinx=21sin2x为奇函数，且T=π.评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.（1998全国，6）已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（）6A.（2，43）∪（π，45）B.（4，2）∪（π，45）C.（2，43）∪（45，23）D.（4，2）∪（43，π）16.答案：B解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，有tanα＞0，A、C、D中都存在使tanα＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3∈（2,4），验证知P在第一象限，排除A、C，取α＝65∈（43，π），则P点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得24或π＜α＜45，故选B.评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.17.（1997全国，3）函数y=tan（3121xπ）在一个周期内的图象是（）17.答案：A解析：y＝tan（3121xπ）＝tan21（x－32），显然函数周期为T＝2π，且x＝32时，y=0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.（1996全国）若sin2xcos2x，则x的取值范围是（）A.{x|2kπ－43πx2kπ+4，k∈Z}7B.{x|2kπ+4x2kπ+45π，k∈Z}C.{x|kπ－4xkπ+4，k∈Z}D.{x|kπ+4xkπ+43π，k∈Z}18.答案：D解析一：由已知可得cos2x=cos2x－sin2x0，所以2kπ+22x2kπ+23π，k∈Z.解得kπ+4xkπ+43π，k∈Z（注：此题也可用降幂公式转化为cos2x0）.解析二：由sin2xcos2x得sin2x1－sin2x，sin2x21.因此有sinx22或sinx－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2kπ+4x2kπ+43π或2kπ+45πx2kπ+47π（k∈Z），2kπ+45πx2kπ+47π可写作（2k+1）π+4x（2k+1）π+43，2k为偶数，2k+1为奇数，不等式的解可以写作nπ+4xnπ+43，n∈Z.评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用.19.（1995全国文，7）使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（）A.［－43，4］B.［－2，2］C.［－4，43］D.［0，π］19.答案：Ass解法一：由已知得：2sin（x－4）≤0，所以2kπ＋π≤x－4≤2kπ＋2π，2kπ＋45≤x≤2kπ＋49，令k=－1得－43≤x≤4，选A.图4—118解法二：取x＝32，有sin2132cos,2332，排除C、D，取x＝3，有sin3＝213cos,23，排除B，故选A.解法三：设y＝sinx，y＝cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A.解法四：画出单位圆，如图4—12，若sinx≤cosx，显然应是图中阴影部分，故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.20.（1995全国，3）函数y＝4sin（3x＋4）＋3cos（3x＋4）的最小正周期是（）A.6πB.2πC.32D.320.答案：C解析：y＝4sin（3x＋4）＋3cos（3x＋4）＝5［54sin（3x＋4）＋53cos（3x＋4）］＝5sin（3x＋4＋）（其中tan＝43）所以函数y＝sin（3x＋4）＋3cos（3x＋4）的最小正周期是T＝32.故应选C.评述：本题考查了asinα＋bcosα＝22basin（α＋），其中sin＝22bab，cos＝22baa，及正弦函数的周期性.21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝95，那么sin2θ等于（）A.322B.－322C.32D.－3221.答案：A图4—129解法一：将原式配方得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝95于是1－21sin22θ＝95，sin22θ＝98，由已知，θ在第三象限，故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋23从而4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A.解法二：由2kπ＋π＜θ＜2kπ＋23，有4kπ＋2π＜4kπ＋3π（k∈Z），知sin2θ＞0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ＝322，得2sin2θcos2θ＝