微积分(第二版吴传生)第一章 第三节 复合函数与反函数教案

第三节复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、函数的运算四、小结思考题一、复合函数(compoundfunction),uy设,12xu21xy定义:,自变量x,中间变量u因变量y的和为上的函数定义在，则称，和设有函数gfgfDxgDxxRDgffggf})(,|{复合函数，其中)]([))((xgfxgf例1,ln)(,2)(2uufyxxgu,),2[fgDR则因此能够形成复合函数)2ln()(2xxgf注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv二、反函数(inversefunction)0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o射是单射，则它存在逆映设函数)(:DfDf,)(:1DDff的为函数称此映射ff1反函数.)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(1xfy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy定理（反函数存在定理）：单调函数f必存在单调的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性.例2.1的反函数求函数xey),1()1ln(),1(11)1ln(11222fxxDxyeyyxye反函数为，即原函数的值域为解三、函数的运算的下列运算：,)(,)(21DDxgxf、的定义域分别是设函数个函数，则我们可以定义这两21DDD函数的和（差）函数的积函数的商gfDxxgxfxgf，)()())((Dxxgxfxgf，)()())((gfgf)()())((xgxfxgf}0)(|{\xgxDx函数的和（差例3.)()()(,)()(),(),()(xhxgxfxhxgllllxf使得及奇函数上的偶函数定存在，证明必的定义域为设函数)()()()()()()()()()(xhxgxhxgxfxhxgxfxhxg，于是有存在和如果这样的分析证明)]()([21)()]()([21)(xfxfxhxfxfxg设.)()()(xhxgxf显然.)()]()([21)()()]()([21)(是奇函数，是偶函数xhxfxfxhxgxfxfxg四、小结思考题1.复合函数：复合函数的形成与复合过程的分解.2.反函数：反函数的基本求法.3.函数的运算：简单函数的四则运算.思考题)(,1sec)(tan2xfxxf求已知解21)1()(1)1(tan)(tan222xxxfxxf练习题.)]([)]([)(111011)(3图形，并作出它们的，求，，，，，、设xfgxgfexgxxxxfx1、2xey；2、xvvuuy2,ln,sin；3、0,10,00,1)]([xxxxgf；1,11,11,)]([xexxexfg.练习题答案