微积分(第二版吴传生)第一章 第二节 映射与函数教案

一、映射的概念第二节映射与函数二、逆映射与复合映射三、函数的概念四、函数的基本性态五、小结思考题一、映射的概念1.定义一：设X与Y是两个非空集合，若对X中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合Y的一个映射，记为f，或者更详细地写YXf：将x的对应元y记作)(:)(xfyxxf并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).集合X称为映射f的定义域，记作XDf，而X的所有元素的像f(x)的集合},)(,|{XxxfyYyy称为映射f的值域，记为))((XfRf或例1设A={商场中的所有商品}，B={商场中商品九月份的销量}，则，ADf是一个映射，BRf)(九月份的销量是商品：xyyxBAf例2设A={1，2，3}，B={4，5，6，7}，则，ADf是一个映射，BRf}6,5,4{6)3(,5)2(,4)1(fffBAf：有唯一确定的y=f(x)与之对应.概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：；，即定义域集合XDXf)1(；，即限制值域的范围：集合YRYf)2(，使每个Xx需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.(3)对应法则f:2.定义二：设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也是唯一的，即对X中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2也满足y1≠y2，则称f为单射；如果映射f满足Rf=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应）.二、逆映射与复合映射1.逆映射：如果映射f既是单射，又是满射，则，对应关系，于是是唯一确定的的即满足方程它的逆像对任一))((,xyxfXxYRyf))((yxfxyXRgf：的称之为，上的一个映射到构成了fXRf,1f记为逆映射，值域为其定义域为,1ffRD.1XRf例3设A={1，2，3}，B={4，5，6}，则既是单射，又是满射，存在逆映射3xyxBAf：31xyxABf：例4设A=[0，π]，B=[－1，1]，则既是单射，又是满射，存在逆映射xyxBAfcos：xyxABfarccos1：2.复合映射：那就可以构造出一个)(1xguxUXg：和)(2ufyuYUf：,2fgDUR如果新的对应关系)]([xgfyxYXgf：的和也是一个映射，称之为gf复合映射.例521xuxRRg：uyuRRf：,]1,(fgDR则因此不能构成复合映射gf但若将g的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令2*1]1,1[xuxRg：则可以构成复合映射2*1]1,1[xyxRgf：因变量自变量.}),({)(ffDxxfyyXfRRDfRD:，则称映射设数集记为上的函数为定义在,D)(xfy三、函数的概念D称为定义域，记作Df，即Df=D.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：：定义.1(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．222ayx例如，是多值函数(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当3.几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线xxxx][1显然:是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.•例1《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算。试建立收入（x元）与应缴所得税（y元）的函数关系全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5﹪超过500元至2000元的部分10﹪超过2000元至5000元的部分15﹪超过5000元的部分20﹪解016000xy当时，160021000.05(1600)xyx当时，210036000.055000.1(2100)0.1(1600)25xyxx当时，360066000.055000.115000.15(3600)0.15(1600)125xyxx当时，综上，有:66000.055000.115000.1530000.2(6600)0.2(1600)375xyxx当时，0016000.05(1600)160021000.1(1600)25210036000.15(1600)125360066000.2(1600)3756600xxxyxxxxxx，，，，，例21,10(),e1,02xxxfxx设解]21[:)(，的定义域为xf110)0(f.)()1()0(的定义域及、求xfff1(1)e1e1f四、函数的几种特性1．函数的奇偶性(parity):偶函数有对于轴对称关于设,,DxyD则,)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD则),()(xfxf.)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy2．函数的周期性(periodicity):2l2l23l23l（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的)()(xflxf且为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立例3解.,)()()(并求其周期是周期函数均对称，证明与的图形关于直线，函数设xfybabxaxRxxfy)()(),()(xbfxbfxafxaf))())(()(axafaxafxf（由条件知：)2(xaf))2(())2((axbbfaxbbf)(xf故是周期函数，且是它的一个周期.)(2ab))(2(abxf3．函数的单调性(monotonicity):,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;I上是单调增加的),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI()fx则称函数在区间)(xfy)(1xf)(2xfxyoI.)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX4．函数的有界性(bounded):..)(否则称为无界上有界在则称函数Xxf五、小结思考题1.映射的有关概念：映射、逆映射、复合映射.2.函数的有关概念：函数、定义域、值域.3.函数的几种特性：奇偶性、周期性、单调性、有界性.思考题已知是一个奇函数，且满足,则是不是一个周期函数？若是，请说明它的一个周期，若不是，请说明理由.()fx()()faxfax()fx思考题解答是.)()2()()()]([])([)2()()(xfxafxfxfxaafxaafxafxafxaf所以是一个奇函数，又因为：可知由练习题2、函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数y=的定义域为B，则A∩B=_______xx121、已知A=N，，映射x,则在f的作用下，像的原像是_____,...}75,53,31{B1212xxy)(Ax101993、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数是（）Ay=|sinx|By=|cosx|Cy=|sin2x|Dy=cos2x2练习题答案1、502、[-2，-1）3、A4、5、A]2,41[