微积分(高阶线性微分方程

1第四节高阶线性微分方程二、常系数齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程一、高阶线性微分方程2一、高阶线性微分方程1、二阶线性微分方程2、线性微分方程的解的结构3通解为])([)()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解Y非齐次方程特解一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.注y)()(xQyxPy一阶线性方程复习4二阶)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy时，当0)(xf二阶线性齐次微分方程.二阶线性非齐次微分方程.形如1、二阶线性微分方程线性微分方程)(xf时，当0)(xf5)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnnn阶线性微分方程的一般形式为,)(,),(),(21为线性微分方程的系数其中xpxpxpn.)(项为线性微分方程的自由xf时，当0)(xfn阶线性齐次微分方程.n阶线性非齐次微分方程.时，当0)(xf6)()(2211xyCxyCyyxQyxPy)()(定理,)1()()(21的两个解是方程与如果函数xyxy的也是那末)1()()(2211xyCxyCy).,(21是常数CC证][2211yCyC])[(2211yCyCxP])[(2211yCyCxQ])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC0叠加原理0一定是通解(1)解,(1)二阶齐次方程解的结构齐次2、线性微分方程的解的结构007线性无关定义nyyy,,,21设02211nnykykyk线性相关.否则称线性无关.如)),((sin,cos122xxx，)),((,2xeeexxx，线性相关有恒等式取,1,1321kkk0sincos122xx恒等式成立如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内那末称这n个函数在区间I内为定义在区间I内的n个函数.8特别地上在与则函数Ixyxy)()(21线性无关.)()(21xyxy,常数若在I上有如,0yy,cos1xyxyytan12且.sincos21xCxCy定理的两个是方程与如果函数)1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy通解,常数为了求只要求它的两个线性无关的特解.,sin2xy线性无关的特解,那末也是(1)的齐次线性方程的通解,通解.)1(0)()(yxQyxPy9推论是n阶齐次线性方程0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为),()()(2211xyCxyCxyCynn其中nCCC,,21为任意常数.可推广到n阶齐次线性方程.)(,),(),(21xyxyxyn如果函数10(2)二阶非齐次线性方程的解的结构定理yxQyxPy)()(y设的一个特解,yYy那么为了求非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程只要求得:的通解.)1(0)()(yxQyxPy非齐次)(xf(2)非齐次线性方程的通解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.是二阶非齐次线性微分方程112xyy方程已知xCxCYsincos210yy的通解.又容易验证22xy是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解.yYy如是二阶非齐次线性方程xCxCsincos2122x是对应齐次方程定理如果21,yy21yy则是对应齐次方程(1)的解.是非齐次方程(2)的两个解，12解的叠加原理定理是几个函数的右端设非齐次方程)()2(xfyxQyxPy)()(如分别是与而21yy)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy21yy)2()()()(xfyxQyxPy)(xf)(1xf)(2xf之和,的特解,那么就是原方程的特解.定理也可推广到n阶非齐次线性方程.13求解xexyy解yy的通解是xCxCYsincos21再考虑两个方程,xyyy例xeyyxCxCsincos210x.21xeyY,xyy对于,*1xy其特解为,xeyy对于,21*2xey其特解为.是原方程的特解原方程通解为xexyyy21*2*1*14常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD提示3231,yyyy是对应齐次方程的解,二者线性无关.(解的叠加原理可证)(89考研)例15已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三16定理yxQyxPy)()()()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy)(1xf)(2xif是方程如果)()(21xiyxyy的解(复值解)，其中),(),(),(),(21xfxfxQxP)(),(21xyxy是实值函数，)()(21xyxy和则分别是方程的解.17解二阶线性非齐次微分方程)1(0)(dd)(dd22yxQxyxPxy解二阶线性齐次微分方程)2()()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy只要求两个线性无关的解2,1yy则方程的通解为2211yCyCy先求（1）的两个线性无关的解2,1yy则方程的通解为*2211yyCyCy再求（2）的一个特解y*18基本思路求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化二、常系数齐次线性方程解法19n阶0qyypy方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn线性微分方程常系数二阶常系数齐次线性形如1.定义20rxey将其代入方程,0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr2422,1qppr特征根0qyypy二阶设解得特征方程常系数齐次线性方程其中r为待定常数.2.二阶常系数线性齐次微分方程解法---特征方程法21,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个特解y)0(0qyypy的通解的不同形式.(1)有两个不相等的实根特征根r的不同情况决定了方程02qprr特征方程xre12Cxre21C21yy常数线性无关的得齐次方程的通解为rxey设解22(2)有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为xrexCCy1)(21代入到，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u,)(xxu,12xrxey2y常数12yy.0qyypy化简得.)(为待定函数其中xu00设)(xu,1xre取则知yxre1xrxe11C2C得齐次方程的通解为rxey设解23(3)有一对共轭复根,1ir,2ir)0(rxey设解这时原方程有两个复数解xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex为了得到实数形式的线性无关解,利用解的叠加原理)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin)sincos(21xCxCeyx得齐次方程的通解为常数12yy24综上，),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程02qprr的根方程0qyypy的通解两个不相等的实根21,rr两个相等的实根rrr21一对共轭复根ir2,1rxexCCy)(21xrxreCeCy2121)sincos(21xCxCeyx25(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解(1)写出相应的特征方程(2)求出特征根二阶常系数齐次线性方程02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rrxrxreCeCy2121实根21rrxrexCCy2)(21复根)sincos(21xCxCeyx求通解的步骤:ir±21，26032yyy求方程的通解.特征方程,0322rr特征根,3,121rr因此原方程的通解为解例27例解初值问题.2,4,09241600xxyyyyy解特征方程0924162rr特征根432,1r所以方程的通解为41CxexCy432)4(xexCCy43224334(2重根)0012C特解.)4(43xexy002xexCC4321)(y28.052的通解求方程yyy解特征方程0522rr故所求通解为y例特征根).2sin2cos(21xCxCex,2121ir，29(1)若特征方程含k重实根r,)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程0111nnnnararar3.n阶常系数线性齐次微分方程xrkkexCxCC)(121可得原方程k个线性无关解则其通解中必含对应项xrkkxrxrexCxeCeC12130(2)若特征方程含k重复根xxCxCCekkxcos)(121xxDxDDekkxsin)(121)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程0111nnnnararar可得原方程2k个线性无关解则其通解中必含对应项31注意一个根都对应着通解中的一项,nnyCyCyCy2211n次代数方程有n个根,而特征方程的每且每一项各有一个任意常数.32例求方程解052)4(yyy的通解.特征方程,052234rrr021rr故所求通解为特征根xCCy21.0)52(22rrr即和.214,3ir).2sin2cos(43xCxCex可得原方程4个线性无关解,0xe;0xxexexexx2sin,2cos即xexexxx2sin,2cos,,133特征根),(11单根r故所求通解xeCy1解01222345rrrrr特征方程0)1)(1(22rr.022)4()5(的通解求方程yyyyyy例,)(32,共轭复根二重ir对应的特解,1xey,cos2xy,sin4xy,cos3xxyxxysin5xxCCcos)(32xxCCsin)(5434为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.根据给定的特解知特征方程有根,121rrir24,3因此特征方程为2)1(r0)2)(2(i