理论力学第7章

第七章点的合成运动第七章点的合成运动§7-1相对运动、牵连运动、绝对运动§7-2点的速度合成定理§7-3牵连运动是平移时点的加速度合成定理§7-4牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理、科氏加速度⑴理解相对运动、绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义，恰当选择动点、动系和定系。⑵熟练应用点的速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加速度合成定理。目标要求重点：速度、加速度合成定理的应用。难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵连点、牵连速度分析。重点与难点定参考系（定系）：固定在地球上的坐标系动参考系（动系）：固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系绝对运动：动点相对于定系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。§7-1相对运动·牵连运动·绝对运动两个坐标系三种运动相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动。例：飞机螺旋桨上一点M运动分析：动点：定系：动系：绝对运动：相对运动：牵连运动：动点M相对于机身作圆周运动螺旋桨上一点P与地面固连与机身固连动点M相对于地面作空间曲线运动机身（刚体）相对于地面的运动例：AB杆运动分析：动点：定系：动系：绝对运动：相对运动：牵连运动：AB杆上A点与地面固连与凸轮固连动点A相对于地面作直线运动动点A相对于凸轮作曲线运动凸轮的定轴运动在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。的轨迹——相对轨迹的速度——相对速度的加速度——相对加速度rvra的轨迹——绝对轨迹的速度——绝对速度的加速度——绝对加速度avaaeaev动点在相对运动中动点在绝对运动中Oxx'y'yφM已知：管子以绕O轴转动，小球M沿转动的管子运动，相对速度为u，OM=l。求：牵连速度和牵连加速度,解:运动分析：动点：小球；动系:与管子固连；绝对运动：M的曲线运动；相对运动：M沿管子的直线运动；牵连运动：管子的定轴转动。Oxx'y'yφMωOMveev牵连速度：牵连加速度：2enωOMααOMαet422en2eteωαOMαααetαenα2arctanωαθ牵连运动：管子的定轴转动。xxtyyt绝对运动方程xxtyyt相对运动方程cossinsincosOOxxxyyyxy动点：M动系：'''Oxy由坐标变换关系绝对、相对和牵连运动之间的关系牵连运动方程ttyytxxO'O'O'O'已知：点M相对于动系沿半径为r的圆周以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1），动系相对于定系以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图所示。初始时与重合，点M与O重合。yxOyxOOxyyxOOxy求：点M的绝对运动方程。例7-1解:相对运动方程：rvtrψMOysinsin1rvt动点：点动系：yxOM绝对运动方程：ωtrvtrωtrvtryxxsinsincoscos1sincosrvtrψMOOOxcos1cos11ωtrvtrωtrvtryxycossinsincos1cossin牵连运动方程：ωt0OO'xx0OO'yy例：小球在金属丝上的运动牵连点的运动zxyOM绝对运动相对运动M1M2'M§7-2点的速度合成定理rvevav动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和点的速度合成定理reavvv已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度。1例7-3大小：方向：√√√1OB解:sinsinaervv2221e1rlrAOv2.速度分析：??rωreavvv1.运动分析：动点：滑块A；动系:与摇杆固连；绝对运动：以O点为圆心，OA为半径的圆周运动；相对运动：沿O1B的直线运动；牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆AB的速度。例7-4大小：？？方向：√√√OAωeOAeOAvvcotea解：2.速度分析reavvv1.运动分析：动点：AB杆上A；动系:与凸轮固连；绝对运动：AB的直线运动；相对运动：以凸轮中心C为圆心的圆周运动；牵连运动：凸轮绕O轴的定轴转动。已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。例7-6MCDAB大小：？方向：？√√MCDAB12RωRω22212r2eaRvvv)arctan()arctan(12revv解：1.运动分析：动点：M点；动系:固连于框架BACD；绝对运动：未知；相对运动：以O为圆心的圆周运动；牵连运动：绕AB轴的定轴转动。2.速度分析reavvv1.选取动点、动参考系和定参考系；2.分析三种运动和三种速度；绝对运动、相对运动、牵连运动绝对速度、相对速度、牵连速度3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形；绝对速度为平行四边形的对角线4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。点的速度合成定理的解题步骤1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动；2.动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。动点、动系的选择原则（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一点的坐标系。（2）运动刚体上有一动点，点作复杂运动。取该点为动点，动系固结于运动刚体上。（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。例如：导杆滑块机构——滑块为动点，动系固结于导杆；凸轮挺杆机构——杆上与凸轮接触点为动点，动系固结于凸轮；摇杆滑道机构——滑道中的点为动点，摇杆为动系。（4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。[例]求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与已知，且设OA=a,AC=b。解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有reavvv[例]已知:凸轮半径r,图示位置时其速度为v,。杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。30分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点。凸轮上C的轨迹是直线，若选OA为动系，其相对轨迹也容易确定是直线解:取凸轮上C点为动点,动系固结于OA杆上。绝对运动:直线运动,绝对速度:，方向相对运动:直线运动,相对速度:未知，方向牵连运动:定轴转动,牵连速度:未知，待求，方向垂直于OC根据速度合成定理作出速度平行四边形如图示。vvarvOA//OCvereavvv•作业：•习题7-77-107-11设动系作平移，由于x'、y'、z'各轴方向不变，故有eeddddaatvtvOOrereaaddddddaatvtvtva从而有当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和§7-3牵连运动是平移时点的加速度合成定理点的加速度合成定理reaaaa已知：如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ωO转动。套筒A沿BC杆滑动。BC=DE，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。例7-8大小：？？方向：√√√2.速度分析解：1.运动分析：动点：滑块A；动系:固连于杆BC上；绝对运动：以O为圆心的圆周运动；相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；牵连运动：BC的平移。OrωreavvvreaOvvvreOBDvrBDl3.加速度分析沿y轴投影tnaeesin30cos30sin30aaan2taee()sin303()cos303Oaarlralt2e23()3OBDarlrBDlreaaaa大小：rω2？？方向：√√√√2BDlωrneteaaa[例]已知：凸轮半径R，v0，a0。求：时,顶杆AB的加速度。60解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。大小：？？方向：√√√速度分析0vreavvv加速度分析eraaaaentaaarr大小：？？方向：√√√√Rvr/20a将上式投影到轴上，得其中整理得§7-4牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理rωωrαae称为科氏加速度reC2va当动系作定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和CreaaaaaMω科氏加速度大小为：方向按右手法则确定sin2reCva科氏加速度是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。rvev2rv2M3Mev'rv'1M1Mv法国科里奥利1792-1843地球北半球上水流的科氏加速度自然现象中的科氏加速度在北半球，河水向北流动时，河水的科氏加速度向左，则河水必受右岸对水向左的作用力，河水因此对右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷。已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的角加速度。例7-91.运动分析：动点：滑块A；动系:与摇杆固连；绝对运动：以O点为圆心，OA为半径的圆周运动；相对运动：沿O1B的直线运动；牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。1OB解:2.速度分析：??rω大小：方向：√√√reavvv22arcosrlrlvv22222e1e1rlrrlvAOv222aesinrlrvv3.加速度分析Crnetenaaaaaa√√√√√大小:方向:沿轴投影x22t2222e13222222221)rllrarllrOAlrlrlr（Cten'aaaaxcos22r1Cnax'terωvωaaar112122??vωAOωrω求：该瞬时AB的速度及加速度。已知：如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动，且O，A，B共线。凸轮上与点A接触的为，图示瞬时凸轮上点曲率半径为ρA，点的法线与OA夹角为θ，OA=l。'A'A'A例7-10解：1.运动分析：动点：AB杆上A点；动系:固连于凸轮；绝对运动：点A的直线运动；相对运动：点A沿凸轮外边缘的曲线运动；牵连运动：凸轮绕O轴的定轴转动。2.速度分析：??ωl大小：方向：√√√reavvvtantanealvvcoscoserlvv沿轴投影naerCcoscosaaaa232acos2cos1Alla3.加速度分析已知：圆盘半径R=50mm，以匀角速度ω1绕水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速度ω2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动