理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)

第三篇动力学动力学——研究物体的机械运动与作用力之间的关系运动分析画速度、加速度图动力学静力学运动学受力分析画受力图动力学质点动力学质点系动力学动力学的力学模型质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性，并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者附加以不同的约束。地球的自转——质点系质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。地球绕太阳的公转——质点刚体的平动——质点刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系其中任意两个质点间的距离保持不变。一、质点动力学的基本定律二、质点的运动微分方程三、质点动力学的两类基本问题一、质点动力学的基本定律第一定律(惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。常矢量vaF00不受力作用的质点是不存在的，指作用于质点上合力为零。质点上作用的是平衡力系惯性——物体具有保持其原有运动状态的特征第三定律(作用与反作用定律):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。第二定律（力与加速度关系定律）：Fam力的单位:牛[顿],2sm11kg1N在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关，而且还决定于物体本身的特征——m惯性maF，，不变)1(物体的运动状态容易改变——惯性小在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。maF，，不变)2(物体的运动状态不易改变——惯性大——合力矢二、质点的运动微分方程iiFtrmFam22dd矢量形式的微分方程1、在直角坐标轴上的投影kajaiaazyxzzyyxxFdtzdmzmmaFdtydmymmaFdtxdmxmma222222Fam2、在自然轴上的投影0bnanaaabbnnFaFvmmaFdtdvmma02nnFvmmaFdtdvmma2混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在以上动力学的两类问题。第一类问题：比较简单。已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。第二类问题：比较复杂。已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动微分方程的积分过程。第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力。第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。三、质点动力学的两类基本问题已知：物体由高度h处以速度v0水平抛出，如图所示。空气阻力可视为与速度的一次方成正比，即，其中m为物体的质量，v为物体的速度，k为常系数。求：物体的运动方程和轨迹。vFkm解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。列出物体直角坐标形式的运动微分方程()xyFkmvkmvivjmgykmmgvkmymxkmvkmxmyxyvxvyxgykyxkx（1）xkxxxkvdtdvtvvxxkdtvdv00ktlnvlnv0xktvvln0xdtdxevvkt0xtkt0xdtevdx00]1[]1[kt0kt0ekvekvxgyky（2）gkvdtdvyytvyydtgkvdvy00tlnggln(kvk1y)][ktggkvlnyktyeggkvdtkgekgdytktyh)(0tkgekghykt)1(2tkgekghykt)1(2]1[]1[kt0kt0ekvekvx物体的运动方程物体的运动轨迹0002lnkvgxkxvvkghy已知：图示质点的质量为m，受指向原点O的力作用，力与质点到点O的距离成正比。如初瞬时质点的坐标为，，而速度的分量为，。试求：质点的轨迹。krF0xx0y0xv0vvy解：画质点受力图（质点在水平面内运动）ykFymxkFxmyx00ymkyxmkx解法一：tmkBtmkAytmkBtmkAxsincossincos2211边界条件定积分常数t=0时0xx0xv0101BxA0y0vvykmvBA0220tmkkmvytmkxxsincos00tmkmkBtmkmkAvtmkmkBtmkmkAvyxcossincossin2211ykFymxkFxmyx解法二：xkxmykym（1）kxdtdvmxdxdtdtdxkxdtmdvxdxkxdvvmxxxxvx002222022xkxkmvxdtdxxxmkvx220dtmkxxdxtxx02200（2）已知：如图所示，在三棱柱ABC的粗糙斜面上，放一质量为m的物体M，三棱柱以匀加速度a沿水平方向运动。设摩擦系数为fs，且。为使物体M在三棱柱上处于相对静止，试求：a的最大值，以及这时物体M对三棱柱的压力。tgsf解：设物体M即将沿斜面上滑时，画受力图sincosmgFmaScossinmgFmaNNsSFfFgffasssincoscossinsincossNfmgF习题：质量为2kg的滑块在力F作用下沿杆AB运动，杆AB在铅直平面内绕A转动。已知：，（s的单位：m；的单位：rad；t的单位：s），滑块与杆AB的摩擦系数为0.1。求：时，推动滑块力F的大小。t4.0st5.0st2解：（1）滑块的速度分析avevrvreavvv04.0t4.0rradtdsvs05.0t5.0dtd01.02.02eneeatsatsvcreneaaaaaa科氏加速度——4.02rvacrev与垂直，caneaevrvavneacasinmgFFmamaSneaxsinmgmaNfFnes2.01.02tsane066.2821801t5.0radst2N23.17FcosmgNmamacay)cos(cagmNcreneaaaaaa已知：图示一小球从半径为R的光滑半圆柱体的顶点无初速地沿柱体下滑。求：（1）写小球沿圆柱体的运动微分方程；（2）小球脱离圆柱体时的角度。解：以小球为研究对象，分析小球任意位置的受力与运动。列写小球自然坐标形式的运动微分方程NmgRvmmgdtdvmcossin2RdtdvaRSRdtdsv小球沿圆柱体的运动微分方程为singR000t初始条件：dddddtddtd00sindgdRcos122Rgcos122gRvdtdRRdtdsvcos12gRvtdtRgd002cos1RS0N脱离约束的条件为，由此得出当02cos3mgmg19.4832cos32cos1小球脱离圆柱体cos122gRvmgmgN2cos3NmgRvmmgdtdvmcossin2[例22]长l，质量为m的均质杆AB和BC用铰链B联接，并用铰链A固定，位于平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得21(1)3ABBxmlFlABFAxFBxFByaBWABCBAFFAyBC作平面运动，取B为基点，则nGBGBGBaaaa将以上矢量式投影到水平方向，得2lGxBGBABBCaaal(4)由(1)~(4)联立解得630,77ABBCFFmlml2,,0nlBABGBBCGBalaa对BC由刚体平面运动的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBxllmlFF(3)BGCBCFWaGxaGyaGBF'ByF'BxO[例23]平板质量为m1，受水平力F作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。解：取圆柱分析，21OmaF于是得：11222,NFFmgmr122OFaaramFaCFN1F1m2gaaO120NFmg22112mrFr1213Fma121FFFam11120()NNNFmgFFmmggmmfF)(21211221()3maFfmmgma1212()13FfmmgammF'N1F'1FN2F2m1gFa取板分析[例24]行星齿轮机构的曲柄OO1受力偶M作用而绕固定铅直轴O转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长l、重P；齿轮O1为均质圆盘，半径r、重Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程21(1)3PlMFlgMO1OFnFRnROO1M由运动学关系，有1(4)arl联立求解(1)~(4)，得26(29)MgPQllQPQMT)92(3O1F'nF'TNaan1(2)QaFTg211(3)2QrTrg取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动MO1OFnFRnR