同济大学现代大地控制测量PPT

第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1地图投影概述3.1.1地图投影的意义与实现),(),(21LBFyLBFx寻找椭球面上大地经纬度B,L，与平面坐标的关系若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于不同的投影。3.1.2地图投影变形及其表述1、投影长度比、等量纬度及其表示式222dSdsm222dydxds长度比：投影后长度与椭球面上长度之比。)(cos)cos(coscos22222222222222222dLdqBNdLBNdBMBNBdLNdBMdS投影平面上微分长度：椭球面上微分长度：3.1.2地图投影变形及其表述上式中BNMdBdqcos)sin1()sin1(.2)24(lncos0BeBeeBtgdBBNMdBqBq为等量纬度，计算公式为引入等量纬度后，使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。3.1.2地图投影变形及其表述dllydqqydydllxdqqxdx),(),(21lqfylqfx引入等量纬度后，投影公式为：求微分，得：其中：l=L-L03.1.2地图投影变形及其表述根据微分几何，其第一基本形式为：2222)()())(())(()()(lylxGlyqylxqxFqyqxE2222GdlFdqdlEdqds其中：3.1.2地图投影变形及其表述)(cos2222222222dldqBNGdlFdqdlEdqdSdsmdqdlMdBBdlNtgAcosBNAGAAFAEm22222cossinsincos2cos则，长度比公式为：将代入上式，得：3.1.2地图投影变形及其表述BNGmBcosBNEmLcos当A=0°或180°，得经线方向长度比：当A=90°或270°，得纬线方向长度比：BNGBNEmcoscos要使长度比与方向无关，只要：F=0,E=G，则长度比可表示为：3.1.2地图投影变形及其表述长度比与1之差，称为长度变形，即：dSdSdsmvm1vm0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。3.1.2地图投影变形及其表述2、主方向和变形椭圆2222222)cos.(coscos2)cos.(BdlNmdqdlBNmmBdqNmdsBLBLcoscos)cos()cos(222222BNmmFBNmGBNmELBBL主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向为主方向。性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。dSABdlNcosBdqNcosBBdlmNcosLBdqmNcosds对照第一基本形式，得：且：EGFcos3.1.2地图投影变形及其表述代入长度比公式，得：02sin2coscos22sin)(sin2sincoscos02002222222AmAmmAmmdAdAmAmmAmmBLBLBLBL即：220cos22LBLBmmmmAtg解得：22222222020sin4)(2112cosBLLBBLmmmmmmAtgA222222020sin4)(cos22cos12sinBLLBBLmmmmmmAA由三角公式得：3.1.2地图投影变形及其表述222222222222222222sin4)()(21sin4)()(21BLLBLBBLLBLBmmmmmmbmmmmmma002222202sincos2cos22AmmAmmmmmLBBLLB由此得，极值长度比为：2222222220sin4)()(21BLLBLBmmmmmmm将三角展开式代入得：因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：3.1.2地图投影变形及其表述222222sin2)(sin2)(BBLLBBLLmmmmbammmmbasin2222BLLBmmabmmba不难得出下列关系：3.1.2地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：2222222222222121sincosbayxybxayxyxm11,2212212211byaxyxbyyaxxyxP,椭球面上111,yxP投影面上3.1.2地图投影变形及其表述)sin()sin(coscos)sin(coscos)sin(11111111ababtgaabtgtgtgaabtgtgtgabaxbyxytg1113、方向变形与角度变形某方向（以主方向起始）投影后为1，则有：由三角公式，得：显然，当+1=90°或270°时，方向变形最大3.1.2地图投影变形及其表述abtgbatg'1',若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：ababuarcsin''1max顾及：''1'''1)90(tgabtgctgtgtg解得最大变形方向为：3.1.2地图投影变形及其表述)sin(arcsin)sin(arcsin)()(1111abababab两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：ababababababarcsin2arcsinarcsinmax显然，当+1=90°、+1=270°或+1=270°、+1=90°时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：3.1.2地图投影变形及其表述4、面积比与面积变形sin11/BLnmmnabnVababn椭球面上单位圆面积为，投影后的面积为ab，则面积变形为：3.1.3地图投影的分类1、按投影变形的性质分类(1).等面积投影ab=1(2).等角投影a=b(3).等距离投影某一方向的长度比为1。3.1.3地图投影的分类2、按采用的投影面和投影方式分类sin)(sincos)(cosZfyZfx(1).方位投影投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定条件将椭球面上的物投影到平面上。3.1.3地图投影的分类(2).正轴或斜、横轴圆柱投影正轴圆柱投影：切圆柱投影、割圆柱投影切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成一组平行直线，经线投影成与纬线正交的另一组平行直线。割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线投影成一组平行直线，经线投影成与纬线正交的另一组平行直线。3.1.3地图投影的分类横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。斜轴圆柱投影：常用于小比例尺投影，将地球视为圆球，投影圆柱体斜切于圆球进行投影。(3).圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平面。根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥投影、斜圆锥投影。3.1.3地图投影的分类习题1.给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。2.投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。3.变形主方向有什么性质？4.最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？5.地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？