同济大学线性代数课件__第二章y

1§1二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组)2()1(22221211212111bxaxabxaxa211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaabaabx当021122211aaaa时，方程组有唯一解2记2112221122211211aaaaaaaa则有221111222212111,1babaDxababDx22211211aaaaD其中.,221111211211222121212221babaabbaababbaab于是3为称21122211aaaa二阶行列式，记作也称为方程组的系数行列式。22211211aaaa行标列标(1,2)元素4对角线法则:22211211aaaa主对角线副对角线2112aa2211aa52.三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa6333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa为三阶行列式,记作称7对角线法则：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa8§2n阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：1.每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。2.n阶行列式是n！项的代数和。3.每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性所确定。9定义1：n!项nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa2121)1(的和nnppptaaa2121)1(称为n阶行列式(n≥1)，记作10§6行列式按行（列）展开333231232221131211aaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？对于三阶行列式，容易验证：11定义1：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫ija的余子式,记为ijMijjiijMA1称为(i,j)元素的代数余子式。做(i,j)元素ija,同时12例如：44424134323114121123aaaaaaaaaM232332231MMA44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD考虑(2,3)元素(2,3)元素的余子式(2,3)元素的代数余子式13定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即),,,(niAaAaAaDniniiiii212211),,,(njAaAaAaDnjnjjjjj2122111421021)1()1(1132)1(1)1(0121101013213212232221AAAD行展开按第15§7Cramer法则Cramer法则：如果线性方程组)(1122112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，16nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112110即.,,,DDxDDxDDxnn2211则线性方程组(11)有唯一解，17其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD11111111111,,,,),,,(njAbAbAbDjnnjjj21221118§4矩阵979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx97963422644121121112线性方程组与矩阵的对应关系19)2121(1njmianmij,,,;,,,个数由定义列的数表，行排成的nm.列矩阵行称为nm.mn简称矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaa20mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211记作简记为ijmnAanmA或其中数ija称为mnA的第i行第j列的元素,nmA或的(i,j)元素。21420134081zyx同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。.),,,,()(,)(BABAnjibabBaABAijijijij相等，记作与则称矩阵若是同型矩阵，与设矩阵21矩阵相等：823zyx,,22一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：.0000000000不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmmnOO23行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).,naaaA21只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)24方阵(SquareMatrix):302234163是3阶方阵.行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵(或n阶矩阵),记作An25对角阵(DiagonalMatrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。nn2121),,(diag26数量矩阵(ScalarMatrix):nnnkkkEk主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零的方阵。27单位矩阵(IdentityMatrix):)(jinnnE111主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。记作:EEn或jijiji0128§3矩阵的秩定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。97963422644121121112AA的一个2阶子式：126429定义4：矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩，记作R(A)。11214021100005300000B例4.求矩阵A和B的秩,其中123235471A3021032031250004300000B123235471A2阶子式120233阶子式|A|=03阶子式21303200044阶子式都=0∴R(A)=2∴R(B)=331§2矩阵的基本运算一、矩阵的加法mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为nmijijAaBb(),(),定义232注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.12345698186309153121826334059619583112.9864474111333负矩阵：)(BABAmnmmnnaaaaaaaaaA112222111211ija),(jiaA设称为矩阵A的负矩阵。34矩阵加法满足的运算规律:.1ABBA交换律：.2CBACBA结合律：.4OAA3AOA35二、数与矩阵相乘.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA定义3361101013213131303)1(3031333231333030396337;1AA;2AAA.3BABA数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设A,B为m×n矩阵，,为数AAA11438定义4skjkkijssijijijibabababac12211),,,;,,(njmi2121并把此乘积记作C=AB三、矩阵与矩阵相乘设是一个m×s矩阵，是ijAa()ijBb()一个s×n矩阵，那末规定矩阵A与矩阵BijCc()的乘积是一个m×n矩阵，其中ss391331654321635241321331124563334568101212151840例：2222634221422216328164331200311210142102111241321013214132133322211111111111111111111132132132132142nnnnnnbbbaaa2121nnnnbababa2211431.矩阵乘法不满足交换律.BAAB注意：11111111AB1111A1111B000011111111BA2222设A左乘BB右乘A442.矩阵乘法不满足消去律OAACAB,1111A1111B设0000C11111111AB000000001111AC0000CB但注意：45nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111mnmmnnaaaaaaaaaA11222211121112(,,,)myyyy12(,,,)nxxxxyAx46矩阵乘法满足的运算规律：;:1BCACAB结合律,:2ACABCBA分配律;CABAACBBABAAB3;4AEAAE47若A是n阶方阵，则为A的次幂，即kAk个kkAAAA,klklAAA.klklAA方阵的幂：并且,时但当BAAB.BAABkkk48方阵的多项式：0111)(