空间向量及其运算知识总结

厦门一中2011级数学竞赛讲座1空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量奎屯王新敞新疆注：⑴空间的一个平移就是一个向量奎屯王新敞新疆⑵向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量奎屯王新敞新疆⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示奎屯王新敞新疆2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下baABOAOB;baOBOABA;)(RaOP运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(3．平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA奎屯王新敞新疆它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱奎屯王新敞新疆4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.要注意其中对向量a的非零要求．5奎屯王新敞新疆共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6．共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOPa．其中向量a叫做直线l的方向向量.空间直线的向量参数表示式：tOAOPa或)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(，中点公式．)(21OBOAOP7．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量奎屯王新敞新疆说明：空间任意的两向量都是共面的奎屯王新敞新疆8．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb奎屯王新敞新疆aC'B'A'D'DABCA'pbaOPABM厦门一中2011级数学竞赛讲座2ykiA(x,y,z)Ojxz推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB①或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB②或,(1)OPxOAyOBzOMxyz③上面①式叫做平面MAB的向量表达式奎屯王新敞新疆9奎屯王新敞新疆空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc奎屯王新敞新疆若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底奎屯王新敞新疆推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC奎屯王新敞新疆10奎屯王新敞新疆空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互相垂直，记作：ab.11．向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a.12．向量的数量积：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab．已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.可以证明AB的长度||||cos,||ABABaeae．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos,aeaae．（2）0abab．（3）2||aaa．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()ababab．（2）abba（交换律）．（3）()abcabac（分配律）奎屯王新敞新疆空间向量的直角坐标及其运算1奎屯王新敞新疆空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}ijk，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．厦门一中2011级数学竞赛讲座3常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCDABCD的棱长为a，一般选择点D为原点，DA、DC、'DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为亦可选A点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似.②正四面体：如图所示，正四面体ABCD的棱长为a，一般选择A在BCD上的射影为原点，OC、OD（或OB）、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥PABCD的棱长为a，一般选择点P在平面ABCD的射影为原点，OA（或OC）、OB（或OD）、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱'''ABCABC的底面边长为a，高为h，一般选择AC中点为原点，OC（或OA）、OB、OE（E为O在''AC上的射影）所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233abababab，112233//,,()ababababR，1122330abababab．（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆模长公式：若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb．5．夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．6．两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz奎屯王新敞新疆空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)Axyz与222(,,)Bxyz确定直线AB的方向向量是212121(,,)ABxxyyzz.平面法向量如果a，那么向量a叫做平面的法向量.二、证明平行问题AA'DBB'D'CC'yzxB'C'A'CABxyzOEBCADOzxyABCDPOxyz厦门一中2011级数学竞赛讲座41．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()ababababR或312123//aaaabbbb.2.线面平行：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l，若an即0an则//a.3.面面平行：平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，若12//nn即12nn则//.三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330ababababab2．线面垂直：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l，若//an即an则a.3.面面垂直：平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，若12nn即120nn则.四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)aaaa123(,,)bbbb(0,90]为一面直线所成角，则：||||cos,ababab；112233222222123123cos,||||ababababababaaabbb；cos|cos,|ab.2．线面夹角：如图，已知PA为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为易得sin|sin(,)|2OPAP|cos,|OPAP|cos,|nAP|cos,|nPA||||||nPAnPA.3．面面夹角：设1n、2n分别是二面角两个半平面、的法向量，当法向量1n、2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为12,nn；当法向量1n、2n一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为12,nn.五、距离1．点点距离：设111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，222,212121()()()ABdxxyyzz222212121||()()()ABABABxxyyzz2．点面距离：A为平面任一点，已知PA为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为易得||||sin|||cos,|POPAPAPAn||||||||PAnPAPAn||||PAnn.3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a、b的距离||||||||nABndABnn.4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.nOPAαθ