第七章 梁的应力和强度计算

12§7–1梁的正应力§7–2梁的正应力强度条件及应用§7–3梁横截面上的切应力§7–4梁的切应力强度条件第七章梁的应力和强度计算3§7-1.1梁的应力情况由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。•在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。41、剪切弯曲内力剪力Q切应力t弯矩M正应力s2、纯弯曲内力：弯矩M正应力σ由以上定义可得：5§7-1.2现象和假设1.纯弯曲实验①横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；（一）梁的纯弯曲实验纵向对称面bdacabcdMM②纵向线变为曲线，且上缩下伸；③横向线与纵向线变形后仍正交。④横截面高度不变。6纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。中性层纵向对称面中性轴（横截面上只有正应力）2.根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：73.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴8•一、公式推导：变形的几何关系应力与应变间物理关系静力平衡条件正应力计算公式导出§7-1.3纯弯曲梁正应力9（二）正应力公式变形几何关系物理关系ysEsyE静力学关系Z1EIMZIMys为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径由以上分析得10•M—横截面上的弯矩•y—所计算点到中性轴的距离•Iz—截面对中性轴的惯性矩ZIMys（三）正应力公式适用条件不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲；适用于所有截面。（四）应力正负号确定M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉;M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.在拉区s为正,压区s为负11§7-2.1最大正应力最大正应力危险截面:最大弯矩所在截面Mmax危险点：距中性轴最远边缘点ymaxmaxmaxmaxzMyIsmaxyIWzz抗弯截面模量。zWMmaxs令则一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；12DdDda)1(3243maxaDyIWzz圆环bd621223maxbhhbhyIWzz矩形322/64/34maxdddyIWzz圆形Wz—抗弯截面模量maxyIWzz抗弯截面模量。13[s]—材料的容许应力maxmax[]ZMWss§7-2.2正应力强度条件及计算1、正应力强度条件：矩形和工字形截面梁正应力smax=M/WzWz=Iz/(h/2)特点：smax+=smax-T形截面梁的正应力smax+=M/W1W1=Iz/y1smax-=M/W2W2=Iz/y2特点：smax+smax-14sszWMmaxmax2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：确定许可载荷：][maxsMWzmax[]zMWs15例7.2.1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11x+M82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM3016Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zykNm5.678/3608/22maxqLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.609.0/zzIWMPa7.6110832.560605121zIyMss求应力1803082qLx+M17MPa6.921048.610006041max1zWMsm4.194106010832.51020035911MEIzMPa2.1041048.610005.674maxmaxzWMs求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax121201803082qLx+M18y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例7-2.2T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5.10;kN5.2BARR)(kNm5.2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM19校核强度MPa2.2810763885.2822zCLAIyMsMPa2.2710763524813zBLAIyMsMPa2.4610763884824zByAIyMsLLss2.28maxyyss2.46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4kNm2.5kNmM20§7－3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dx图a图bzs1xys2t1t图czzSbISFy1)(tttSz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.21)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzy式中:--所求切应力面上的剪力.IZ--整个截面对中性轴的惯性矩.Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.b--所求应力点处截面宽度..,,,,:即随高度变化变化只随则一般也不变定，、则如截面确定公式中注意zzzSSbIzQbISFttyA*yc*SF22tt5.123maxAFS)()4(222为二次抛物线矩yhIFzStQt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力.为平均切应力的1.5倍。23•二、其它截面梁横截面上的切应力工字形截面梁剪应力分布假设仍然适用—横截面上剪力；Iz—整个工字型截面对中性轴的惯性矩；b1—腹板宽度；Sz*—阴影线部分面积A*对中性轴的静矩最大剪应力：SFzzSbISFtzzSbISFmaxmaxt24Iz—圆形截面对中性轴的惯性矩；b—截面中性轴处的宽度；Sz*—中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩圆形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴上:圆环截面梁zzSbISFmaxmaxtAFS34maxtAFS2maxt25§7-4梁的切应力强度条件1、危险面与危险点分析：最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QttQt262、切应力强度条件：ttzzSIbSFmaxmaxmax3、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M较小，而FS较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。27注意事项设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。28弯曲强度计算的步骤画出梁的剪力图和弯矩图,确定|FS|max和|M|max及其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面；根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即smax和tmax（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；对smax和tmax分别采用正应力强度条件和剪应力强度条件进行强度计算，即满足smaxs,tmaxt29解：画内力图求危面内力例7-4.1矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0.9MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3mQ2qL2qL–+xx+qL2/8M30求最大应力并校核强度应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mQ2qL2qL–+x][7MPa6.25MPa18.012.040506622maxmaxmaxssbhMWMz][0.9MPa0.375MPa18.012.054005.15.1maxmaxttAFSx+qL2/8M31梁的应力种类正应力计算应力强度条件及应用切应力计算32作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttssssmax,max,,要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ctss综合题33mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴z的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI（1）求截面形心z1yz52解：34（4）B截面校核ttssMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccssMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3）作弯矩图-4kNm2.5kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD35（5）C截面要不要校核？ttssMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4）B截面校核（3）作弯矩图ttssMPa2.27max,ccssMPa1.46max,P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNmM36