陈天富材料力学第五章 扭转-修订版

第5章扭转第5章扭转轴：以扭转变形为主的杆件。mm§5.1扭转的概念受力特点：作用于杆件两端的外力是一对大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的力偶矩。变形特点：杆件的任意两个横截发生相对转动。扭转角：杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的相对角位移。§5.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算)(9549mNnNm)(7024mNnNm功率N为马力功率N为千瓦外力偶矩主力矩阻力矩（与主力矩平衡){mmmxTmxT´右:Σmx=0,m–T´=0T´=mT、T´为扭矩扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩方向与截面外法线相同为正，反之为负。2扭矩和扭矩图(1)扭矩左:Σmx=0,T–m=0T=m解：1求外力偶矩BCADmBmCmAmDmBmCmAmDmC(2)扭矩图已知：NA=50马力、NB=NC=15马力、ND=20马力，n=300r/min.求：作扭矩图nNm7024mA=1170NmmB=mC=351NmmD=468Nm2求扭矩Σmx=0,T1+mB=0T1=-mB=-351Nm3作扭矩图Tmax=702Nm如果A、D交换,Tmax=1170NmΣmx=0,T2+mB+mc=0T2=-mB-mc=-702NmΣmx=0,-T3+mD=0T3=mD=468Nm0xT468702351(+)(-)mBmCmAmDmCxmBT1xT3mDxmBmCT2x§5.3纯剪切一薄壁圆筒扭转时的应力rt为薄壁圆筒现象：1圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。2各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度γ（剪应变）mxTΣX=0T=m(数值上）T＝∫ArτdA(实质上)02π＝∫rτrtdαrt,τ均布T=2πr2τttrT22LmφrRtmγyαdαx0ττττdytdxτ´τxyzdxdyt二剪应力互等定理剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上剪应力必然成对存在且数值相等，垂直于两个平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。=τ´dxtdyτ=τ´τγτγτ＝Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变、剪切胡克定律)1(2EGlRmmlφRγ剪应变在弹性范围内,剪切胡克定律G--剪切弹性模量右侧面上剪力从0－γ1完成的功τdydz–剪力dγdx－位移增量γγdxdzdyττ´τdτγ1γ0τγdγdU=dw=∫τdydzdγdx=∫τdγdVdV=dydzdx(单元体体积）00γ1γ1五剪切变形能变形能比能0γ1dw=∫τdydzdγdx10ddVdUu弹性范围2u内部剪应变lmφmdxxdxdΦRγργρ2物理关系当τ≦τp时τρ＝Gγρ1变形几何关系§5.4圆轴扭转时的应力dxdGdxRddxd平面假设：表面剪应变3静力学关系dAdxdGdATAApAIdxdGdAdxdG2pITρdρdρdAτρxdxdφRγργρ抗扭截面模量ρdρdρdAτtpnaxWTITR当ρ=R时其中RIWptApdAI2极惯性矩4极惯性矩和抗扭截面模量（1）圆（2）空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ20422322DAPDddAI1623DDIWpt)1(322422422DdAPDddAI)1(16243DDIWptDd注：对变截面轴应综合考虑T和Wt确定τmax。][maxmaxtWT5圆轴扭转强度条件l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)xdxGITdpdxGITpl0pGITl§5.5圆轴扭转时的变形1扭转角(1)等直圆轴(2)阶梯轴piiiGIlT(3)变截面轴dxxGIxTpl)()(3扭转刚度条件][maxmaxpGIT][180maxmaxpGIT[θ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m2单位长度扭转角pGITdxd已知：n=300/min、NA=48kW、NB=18kW、NC=ND15kW,G=80GPa,[τ]=40MPa,[θ]=0.85º/m.求：轴的直径d。BCADmBmCmAmD112233mA=1527NmmB=573NmmC=mD=477Nm2作扭矩图－573(－)954477xT(＋)nNm9549解：1计算外力偶矩Tmax=954Nm3设计轴的直径取d＝55mmmmTd5.49][163max][maxmaxtWT由刚度条件：mmGTd5.53][1803242max由强度条件：][180maxmaxpGIT4)1(42221dD2221)1(dD已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,α=0.5.求：比较空心轴和实心轴的强度和刚度解：1比较强度111)1(16)1(16223431343111dDdDWWTTtt实心轴强度空心轴强度dd1D1111)1(32)1(32224441444111dDdDIIGIGIpppp实心轴刚度空心轴刚度2比较刚度44.15.015.01112222实心轴强度空心轴强度67.15.015.01112222实心轴刚度空心轴刚度5.0令dd1D1§5.6扭转静不定问题ABCmm已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.解:1静力学关系0,0BAxmmmm2变形几何关系0BCACABACBmab扭转静不定问题mBACBmmAx3物理关系AmT102121pBpAIGbmIGamBmT2解出:maIGbIGbIGTppp2112111maIGbIGaIGTppp2122122ACBmabmBACBmmA作业5.75.115.135.16