陈天富材料力学第八章 弯曲变形-修订版

第8章弯曲变形第8章弯曲变形§8.1工程中的弯曲变形问题2利用变形1限制变形ABCP§8.2挠曲线近似微分方程1梁的弯曲变形(1)挠度挠曲线:挠度:挠度方程:y=y(x)(2)转角转角:转角方程:θ=θ(x)θθdxdydxdyarctg)(ABd(x)xy(x)Pdθxy2挠曲线近似微分方程EIM1EIxMx)()(1232)'1()(1yyx232)'1()(1yyxEIxMxy)()(1纯弯曲推广到横力弯曲高等数学正负号由梁的凹凸判定实用于任何弯曲形式小变形下M0M0y0y0yxy”=0M=00'2yEIxMy)(AB2aa43aD22qa3292qa(-)(+)3大致描绘梁的挠曲线§8.3积分法1转角普遍方程和挠度普遍方程EIxMy)()(xMEIyCdxxMEIy)('DCxdxdxxMEIy)(转角普遍方程挠度普遍方程2边界条件:支承条件和光滑连续条件支承条件:固定端:y=0θ=0铰支座:y=0弹性支承:y=δy=Δl光滑连续条件:分段处挠度,转角相等.y1右=y2左θ1右=θ2左…y1右=y2左θ1右=θ2左123Δlδ已知:ql求:yA和θA2普遍方程qlABx22qxEIy2)(2qxxMCqxdxqxEIEIy62'32DCxqxDCxdxqxEIy24634解:1弯矩方程5求θA和yA4挠度方程和转角方程3确定积分常数063Cql63qlCx=ly=00244DCxql84qlD66'33qlqxEIEIy8624434qlxqlqxEIyEIqlxA630EIqlyxA840x=ly´=0qlABx已知:Plab求:挠度方程和转角方程解:1支反力2弯矩方程lPbRAlPaRBAC(0≤x≤a)CB(a≤x≤l)lPbxxM11)()()(222axPlPbxxMlx2x1abABCRARBxyP3挠度方程和转角方程4确定积分常数x1=0y1=0(1)x2=ly2=0(2)x1=ay1=y2(3)y´1=y´2(4)……CB(a≤x≤l)AC(0≤x≤a))()(222axPlPbxxMEIylPbxxMEIy11)(121'12ClPbxEIy1113116DxClPbxEIy22222'2)(22CaxPlPbxEIy22232322)(66DxCaxPlPbxEIy§8.4叠加法一叠加条件1材料服从胡克定律,小变形,转角和挠度与载荷成齐次线性关系.2每一载荷对变形是各自独立的.二叠加原理载荷单独作用载荷共同作用qyqθqPyPθPmymθmmPqyyyy''''mPqyyyymPqyyyy叠加qqMEIyPPMEIymmMEIymPqmPqMMMEIyEIyEIyMEIymPqMMMMmPqEIyEIyEIyEIyqPmyqq已知:qlEI求:θmaxymax2121lyyyyyBBAAAAEIqlA631EIqlEIlqB486)2(33EIqlyA841EIqlEIlqyB1288)2(4421maxAAAEIqlEIqlEIql48748633321maxlyyyyBBAAEIqllEIqlEIqlEIql3844124812884344解:qyA1θA1qyBθB2lBBAAAA121qCBAyAθA2l2l§8.5刚度条件][max][maxyy许用转角][许用挠度][y已知:P1=2kN,P2=1kN,l=400mm,a=200mm,E=210GPa,D=80mmd=40mm,C处[y]=0.0001l.B处[θ]=0.001rad.求:校核其刚度.解:用逐段刚化法计算挠度和转角首先刚化AB,BC可视为悬臂梁:然后刚化BC,AB可视为简支梁:B截面的总转角C截面的挠度EIlPEIalPB1632212ayBC22EIlPEIalPBBB16322121radrad001.0][000109.0mmlymm0040001.0][035,0EIaPyC311ABCaP1P22l2l01BP1B1CyaEIPayyyBCCC22133BCP2M=P1ayc2A2B§8.6简单静不定梁用变形比较法解静不定梁:1确定静不定次数2解除多余约束,选取静定基.多余约束:超过维持结构静力平衡所需的约束.多余反力:多余约束引起的反力.静定基:解除多余反力和载荷的静定基本系统.3建立相当系统.在静定基加上多余反力和载荷,并保持几何不变性.4找变形协调条件,建立补充方程.5联列求解静力学平衡方程和补充方程,求得全部未知量.laPMABCRARBHAABRBPABMAPABRBABMAABRBABMA1确定静不定次数laPMABCRARBHAyxΣx=0HA=0(1)Σy=0P+RA-RB=0(2)ΣmA=0Pa-RBl-MA=0(3)2解除多余约束,选取静定基.3建立相当系统.4找变形协调条件,建立补充方程.5联列求解静力学平衡方程和补充方程.HA=0同理MA为多余约束θA=0得相同结果ABMAPθA=0036)3(32EIlREIalPaB(4))3(23322lalaPRBPlalaPRA)3(23322)32(23322lalalaPlMAABRBP0By0By0)()(BRBPBByyy已知:Pl求:RC=?PCl/2Bl/2Ay1cR´CCBAPRCycEIlllPyPc6)23()2()(2EIlRyCRcC3)2()(3EIlRyCc3)2(3'1且EIlllP6)23()2(2EIlRC3)2(3EIlRC3)2(3'45PRC其中'CCRRcRcPCyyyC)()(ccyy1解:为一次静不定变形协调条件:§8.7用莫尔定理计算梁的弯曲变形一物体在大小与方向不变的力P作下，沿光滑地面移动距离△，P力作的功可表为W=P△（a）一、虚功原理1、实功圆盘在大小与转向都不变的力偶M=2Pr作用下，转动的角位移为φ，力偶M作的功为W=Mφ（b）上述两种情况，都是力或力偶矩在自身引起的线位移或角位移上所作的功，称为实功。PPPr当作功的力或力偶与相应于力或力偶方向上的位移彼此独立无关时，这种功便称之为虚功。2、虚功悬臂杆，P在境温度变化引起的变形△l上作的功为:W=P△l（c）这个功就是虚功。ABPΔll对于弹性变形体，外力所作的虚功Wext与内力所作的虚功Wint是相等的，即有Wext=Wint这一原理称之为虚功原理.3、虚功原理简支梁在一组外力作用下，梁要产生弯曲变形，此状态称为位移状态.力状态中的外力沿着位移状态中相应的位移上所作的虚功，称为外虚功，用Wext表示；力状态中梁的内力沿着位移状态中相应的梁的变形上所作的虚功，称为内虚功，用Wint表示。ABC1Pxdx)(xM)(xM同一简支梁，c处作用一个单位集中力,这一状态称为力状态1PxAB1P2PnPCdxd二、莫尔定理外力的虚功dθMxWltin全梁的内虚功dθM1xldθMxl利用梁的挠曲线近似微分方程EIxMdxdy)(dxdEIxM)(为计算梁的弯曲变形的莫尔积分公式，亦称为莫尔定理。计算出的△值为正，△的方向与单位力的方向相同，反之则△的方向相反.ldxEIxMxM)()(ABC1Pxdx)(xM)(xMxAB1P2PnPCdxd1PWext例题:均布载荷作用下的悬臂梁，其EI为常数。试用莫尔定理计算梁端点A的挠度yA。221)(qxxMxxxM1)(解：为了计算悬臂梁A点的挠度，需要在A点作用一铅垂向下的单位集中力。计算悬臂梁的弯矩和.xMxM利用莫尔定理EIqldxxqxlEIdxxMxMl8))(21(4201EI)()(计算结果为正值，表明A端挠度与所加单位力的方向相同，即向下。EIqlyA84qABxl1ABxl三、图形互乘法EIdxxMxMl)()(dxxMxMlbkxxM()()lllMxMxdkxMxdxbMxdxbxdkdbxdkllldxxMd)(clxxdcclMbkxdxxMxM)(EIMcEIMEIdxxMxMclCxdxCxCMlxydxxM)(例题:均布载荷作用下的简支梁图示，其EI为常量。试求梁中点的挠度。2428323221qllql32548521llMMccEIqllqlEIMMEIyccc38453252421432121简支梁在均布截荷作用下的弯矩图为二次抛物线解：单位力作用下的图为两段直线可求得中点C的挠度1cM2cM4l165lqCABRARB2l2l1282qlCB1A已知:q，a,EI.求:θC解：1作外伸梁在载荷q作用下的弯矩图.1222232321qaqaa322221qaqaa221323qaqaa2作外伸梁在单位载荷作用下的弯矩图.在截面C上作用一单位力偶211211cM321322cM13cM3求θC12132213211333332211qaqaqaEIMMMEIccccEIqa653ABa2aC11cM2cM3cM11C2C3C12322qa2qaqABa2aCqaP作业8.5(c)8.78.12(f)8.158.198.23