通信原理第二章 随机信号分析000

1第2章随机信号分析随机过程的基本概念平稳随机过程2随机过程的基本概念])([),(11111xtPtxF随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述：1111111),(),(xtxFtxf221121212)(,)(),,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)(),,;,,,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，，，；，，，，，，；，，，随机过程的数字特征：均值（数学期望）111111),()(dxtxfxtEdxtxxftE),()(1方差2)]()([)]([tatEtD相关函数2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR协方差函数21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB)()(),(),(212121tatattRttB)]()([),(2121ttEttR3平稳随机过程)(),(11111xftxf),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR广义平稳随机过程各态历经性2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。4例2-1]设一个随机相位的正弦波为，其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。)cos()(tAtcccAttAcos2)(cos22122解：2021)cos()]([)(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0]sinsincos[cos22020dtdtAcc所以(t)是广义平稳过程220)cos(1limTTcTdttATa22])(cos[)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222})22cos(cos{2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa2012212221212121]2)(cos[2)(cos2)]cos()cos([)]()([),(dttAttAtAtAEttEttRcccc因此，随机相位余弦波是各态历经的5自相关函数令t2–t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos221]2)(cos[2)(cos2]}2)(cos[)({cos2)]cos()cos([)]()([),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc6(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。72.2.3平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界即自相关函数R()在=0有最大值。—(t)的直流功率表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)=2。)]([)0(2tER)()(RR)0()(RR22a)]([)(tER2)()0(RR8二.频谱特性确定性信号：设确定性功率信号，有功率谱密度，自相关函数，的平均功率为：式中，是的截短函数的频谱，确定性信号的功率谱密度：dPdTFdFTdttfTdttfTSSTTTTTTTTT212121111222222limlimlimlim平均功率)(tfSPtR)(tfTFtftfTtfTFPTTS2lim9自相关函数与的功率频谱之间有确定的傅立叶变换关系：平稳随机过程有否上述关系？设过程的截短函数（截短的随机过程），截短函数的傅立叶变换：RtfSPSPRttT平稳随机过程的平均功率，有：tdttTEdttTESTTTTT222211limlimdTETT2121limdPdTETT21212lim2/2/)()()(TTtjTtjTTdtetdtet10的功率谱密度为：tPTEPTT2lim下面考察频谱与自相关函数之间的关系。PtR'''''''''dtdtettRTdtdtettETdtetdtetTETEttjTTTTttjTTTTTTtjTTTtjTT2222222222222111令：，则得：tt2022''02211TTTjjTTERedtdtRedtdtTTT00111TjjTTjTTRedTRedTTRedT11于是deRdeRTTFEPjjTTTTT)()()1(lim])([lim)(212例题求的自相关与功率谱密度，是在上均匀分布的随即变量。解)sin()(0tt)20[，021sincos21cossin]sin[cos]cos[sin)][sin()(200200000dtdttEtEtEta0212021002120210021002100200000000cos)(2sinsin)](2cos1[cossin)}(2{sincos)}({sin]sin)cos(cos))[sin({sin()}sin(){sin()(dtdttEtEtttEttETR13所以为平稳随机过程，其功率谱密度为dPRPdedeRPsjjs)(2/1)0()]()([cos)()(210021021142.4GaussianProcess1-维高斯过程，其概率密度函数满足正态分布]2)(exp[21)(22axxfxa2115Gaussian概率密度函数的性质关于中值偶对称在中值点取极大值区间积分标准差减小，最大值变大，峰变窄，能量向中值集中概率积分函数，误差函数和误差补函数21)()(xafxaf0)(xxf)(1)(;1)2(2)()2/exp(21)()()()(2xerfxerfcxQxerfdzzxQaxQdzzfxFxx1)(dxxf16GaussianWhitenNoise宽带高斯噪声)(R)(20n20nHzWPn/)(17窄带随机过程定义：随机过程的频谱限制在中心频率附近很窄的频带上时域：包络和相位缓慢变化频域：发射机接收机tatxccos)(tttttttatttatcsccccsin)(cos)(sin)(sin)(cos)(cos)()(10/1/;ccffff))(cos()()(tttatc18窄带随机过程))(cos()()(tttatc)(Stc19窄带平稳高斯过程对一均值为0方差为的窄带平稳高斯随机过程其同相和正交分量也为0均值，方差相同的平稳高斯过程，且同一时刻互不相关或统计独立其幅度和相位统计独立，分别满足瑞利分布和均匀分布220,21)(0],2exp[)(222faaaaf20主要内容2.6窄带随机过程2.7正弦波加窄带高斯过程2.8随机过程通过线性系统小结212.6窄带随机过程0f1、窄带随机过程的定义通常情况下，通信系统中信号和噪声的带宽远小于其中心频率或载频，为一窄带随机过程。fcftttatccos窄带随机过程的一个实现：ttttcsccsincosttatttatscsincos，其中，222、窄带随机过程的性质：ttEttEtEcsccsincost设是一0均值平稳随机过程，一个均值为0的窄带平稳高斯过程的同相分量和正交分量也是均值为0的平稳随机过程，且方差同等于的方差，同一时刻的相互独立。tctstttsc,232222expaaaf21f窄带平稳随机过程包络的概率密度函数为：ta窄带平稳随机过程相位的概率密度函数为：t瑞利分布均匀分布242.7正弦加窄带高斯过程tntAtrccos系统中的信号与噪声之和可以近似看作正弦波加窄带高斯噪声。ttyttxtAcccsincoscosttyAttxAccsinsincoscostztztyAtxAtzsc222122sincoscszzarctantzccos其中，25其包络的概率密度为：0,21exp222202zAzAzIzzf其相位的条件概率密度为：2cos1sin2exp22cos22exp2