第五章 线性参数的最小二乘法处理(2)

第五章线性参数的最小二乘法处理1LS简介正规方程精度估计组合测量LS处理主要内容(LeastSquares)最小二乘法历史原理(线性参数)等精度测量LS的正规方程不等精度测量LS的正规方程非线性参数LS的正规方程LS与算术平均值原理的关系测量数据的精度估计LS估计量的精度估计22222121nniimin回顾ˆVLAXTVVmin111122221212(,,,)(,,,)(,,,)ttnnntlfxxxlfxxxlfxxx0TAVˆTTAAXAL1ˆ()TTXAAALˆVLAX残差方程式12n=llLl残差方程式111212122212ttnnntaaaaaaAaaaTTAAAL|()1()TTAAALE|()3W24681012L8.910.111.212.013.113.9习题弹簧的长度L和它悬挂的重量W间的关系如下，求关于L、W的经验公式。解：设经验公式为L=kW+b(1)残差方程()iiiilylkWb(2)各变量数据8.910.111.2'12.013.113.9LˆkXb21416181101121A(3)求解ˆ'TTAAXAL10.497ˆ()'8.053TTkXAAALb0.4978.053LW4令，现将函数在处展开，则有三、非线性参数LS处理的正规方程第二节正规方程针对非线性函数12(,,,)(1,2,,)iityfxxxin其测量残差方程为111122221212(,,,)(,,,)(,,,)ttnnntlfxxxlfxxxlfxxx10200,,,txxx12102000102012(,,,)(,,,)()()()iiiitittiffffxxxfxxxxxx110122020,,,tttxxxxxx5将上述展开式代入残差方程，令102001020012'(,,,)(),(),,()iiitiiiiiittllfxxxfffaaaxxx则误差方程转化为线性方程组1111112212221122221122'()'()'()ttttnnnnnttlaaalaaalaaa于是可解得，进而可得。(1,2,,)rrt(1,2,,)rxrt近似值第二节正规方程6第二节正规方程为获得函数的展开式，必须首先确定10200,,,txxx1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取最简单的t个方程式，如令，由此可解得。0i10200,,,txxx为了获得线性化的结果，函数的展开式只取一次项而略去了二次以上的高次项，严格地说，由此给出的估计量是近似的。不过一般来说这已能满足实际的要求，因为只要所取近似值的偏差相对于所研究的问题而言足够小，则二次项以上的高次项其值甚微，可以忽略不计。因此，在对某一非线性参数作线性化处理时，估计量近似的选取应有相应的精度要求。0rxr71122nnlxlxlx第二节正规方程四、LS原理与算术平均值原理的关系为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据，相应的权分别为。12,,,nlll12,,,nppp则测量的误差方程为：11()nniiiiiiiipaaxpalLS处理的正规方程为：8第二节正规方程1111112212221122221122()()()ttttnnnnnttlaxaxaxlaxaxaxlaxaxax11121211111112122222111111221111nnnniiiiiitiiitiiiiiiinnnniiiiiitiiitiiiiiiinnnniitiiititiititiitiiiiixpaaxpaaxpaapalxpaaxpaaxpaapalxpaaxpaaxpaapal11()nniiiiiiiipaaxpal1122nnlxlxlx1ija9因而有：当：结论：LS原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是LS原理的特例。第二节正规方程11()nniiiiipxpl11niiiniiplxp12npppp112n()niilplllxnpn不等精度测量加权算术平均值等精度测量算术平均值10对进行n次等精度测量，给出的估计量。第三节精度估计目的：给出估计量的精度12,,,txxx一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计12,,,nlll2可以证明是自由度为（n－t）的变量。根据变量的性质，有221()/niiv22212niiEnt221niiEnt11则可取221ˆniint第三节精度估计因此测量数据的标准差的估计量为21niint12第三节精度估计B）不等精度测量数据的精度估计221ˆniiipnt21niiipnt13第三节精度估计二、LS估计量的精度估计A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计确定表达式（不定乘数法）要求估计量的精度思路：12,,,txxx估计量精度估计的表达式12,,,txxx找出精度与精度的关系12,,,txxx12n,,,lll14第三节精度估计111111111112211111111221221112222122111111111221111nnnniiiiiiiittiiiinnnniiiiiiiittiiiinnntititititititiiiidaldaaxdaaxdaaxdaldaaxdaaxdaaxdaldaaxdaaxda1ntittiax11111221111122112222111111221111nnnniiiiiiiittiiiinnnniiiiiiiittiiiinnnnitiitiitiitittiiiialaaxaaxaaxalaaxaaxaaxalaaxaaxaax设有正规方程11121,,tddd为求，设有不定乘数1x(一般为t×t个)15选择使之满足：第三节精度估计1111122111111111tntntntnririririririririttriririridaldaaxdaaxdaax11121,,tddd11111211111100tnririritnririritnriritridaadaadaa11111111221111tnriririnnniiiititiiiixdaldaldaldal16111111212111112112221221112121ttttnntntnxdadadaldadadaldadadal11111112121112112112221211111221ttttnnntnthdadadahdadadahdadada11111221nnxhlhlhl222222211111221xnnhhh得：第三节精度估计令：则有：1712n22222111121xnhhh22111xd221112222222xxxtttddd第三节精度估计等精度测量：展开，合并，得到11111211111100tnririritnririritnriritridaadaadaa利用111222xxxtttddd18111112121111121112212211111112121111100nnniiiiiittiiinnniiiiiittiiinnnitiitiitittiiiaadaadaadaadaadaadaadaadaad第三节精度估计11111211111100tnririritnririritnriritridaadaadaa不定乘数的系数与正规方程的系数完全一样！展开11112211111121122222111111221111nnnniiiiiittiiiiiinnnniiiiiittiiiiiinnnnitiitiitittitiiiiiaaxaaxaaxalaaxaaxaaxalaaxaaxaaxal19第三节精度估计例：某测量数据li的标准差为0.05mm，且已知正规方程为12123020502xxxx求估计量x1和x2的标准差。设不定乘数为解：11122122dddd，，，1112111112302010.10ddddd21222221223020031ddddd1110.0158mmxd2220.0866mmxd其方程组如下：选择条件20111212122212=()()nnTnnnnDlDlDlDlDlDlDLELELLELDlDlDl()()ijiijjijijDlElEllEl12n0ij0ijDl第三节精度估计设有协方差矩阵：若为等精度相互独立测量的结果，即：12,,,nlll且即222000000DL则有2()()iiiiiiiDlElEllEl21ˆˆˆˆˆ()()TDXEXEXXEX1ˆTTXAAAL111112ˆ()()TTTTTTTTTTDXAAAELELLELAAAAAADLAAAAA则估计量的协方差为：第三节精度估计1112112122212ttTttttddddddAAddd22B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计第三节精度估计同理经推导可得：111222xxxtttddd各不定乘数由求得：1122,,,ttddd1()TAPA1112121222112()ttTttttddddddAPAddd23例：不等精度测量的方程组如下：6.53yx，11P；1.84yx，22P；5.032yx，33P试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。第三节精度估计24第三节精度估计解：134121A由题意可知：5.68.10.5L100020003PˆxXyT-1T1.434ˆ=()2.352XAPAAPL=1235.6130.0221.434ˆ8.1410.0122.3520.5