第五章 线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法应用频率特性研究线性系统的经典方法。时域分析法—时域数学模型—微分方程复域分析法—复域数学模型—传递函数（劳斯判据、根轨迹等）频域分析法—频域数学模型—频率特性频率特性反映了正弦信号作用下系统响应的性能。主要内容：•频率特性的基本概念和频率特性曲线绘制方法；•频域稳定判据和频域性能指标的估算。5-1频率特性1频率特性的基本概念以RC滤波网络为例：RCiuiuouiAuoA’设电容C的初始电压为uo0,取输入信号为正弦信号当uo为稳态时，记录曲线为tAuisin可见，RC网络的稳态输出仍为正弦信号。特点为：频率与输入信号的频率相同；幅值较输入信号有一定衰减；相位存在一定延迟。RCiuiuo取拉氏变换并代人初始条件得：RC滤波网络的微分方程：ioouudtduTT=RC为时间常数。][11)]0()([11)()0()()()()()()]0()([022)(UiosoiooiooioooTusATsTusUTssUTusUsUsTsUsUsUussUT代人][11)]0()([11)()0()()()()()()]0()([022)(UiosoiooiooioooTusATsTusUTssUTusUsUsTsUsUsUussUT代人][11)]0()([11)()0()()()()()()]0()([022)(UiosoiooiooioooTusATsTusUTssUTusUsUsTsUsUsUussUT代人][11)]0()([11)()0()()()()()()]0()([022)(UiosoiooiooioooTusATsTusUTssUTusUsUsTsUsUsUussUT代人再由拉氏反变换求得：)arctansin(1)1()(22220TtTAeTTAutuTtoo推导过程不要求。稳态分量：)arctansin(1)(22TtTAtuos)](sin[)(tAATTAarctan)(,11)(22式中幅值比相位差为了得到频率特性的定义，我们将其与传递函数联系起来。RC网络的传递函数为：11)(TssG取s=jω，则：)1(111111)(22221TjTTTjTjjGTj分子分母同乘)1(111111)(22221TjTTTjTjjGTj分子分母同乘)1(111111)(22221TjTTTjTjjGTj分子分母同乘将其用向量表示：TjTjeTeTTjGarctan22arctan222211111)(TjTjeTeTTjGarctan22arctan222211111)(结论：幅值比A(ω)为传递函数G(jω)的幅值。相位差φ(ω)为传递函数G(jω)的相角。)(jG)(jG)(jejG)A()(这样输出对于输入的变化可用传递函数来描述：)(jejG)A()(频率特性的定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比A(ω)为幅频特性；输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的相位之差φ(ω)为相频特性；其指数表达形式为为系统的频率特性。)(jejG)A()(频率特性的性质：与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。2频率特性的几何表示法——频率特性曲线1）幅相频率特性曲线（幅相曲线或极坐标图）①对于任一给定的频率ω，频率特性值为复数，因此幅相曲线是以横轴为实轴，纵轴为虚轴的复数平面上的一条曲线。②幅频特性A(ω)为ω的偶函数，相频特性φ(ω)为ω的奇函数，因此幅相曲线(ω:0→+∞)时的部分与(ω:0→-∞)时的部分关于实轴对称。③幅相曲线中用小箭头表示ω增大时曲线的变化方向。ω=0ω=∞1/2右图为RC网络的幅相曲线2）对数频率特性曲线（伯德曲线或伯德图）包括对数幅频曲线和对数相频曲线。①对数频率特性曲线的横坐标按lgω分度，单位为弧度每秒(rad/s)。②对数幅频曲线的纵坐标按线性分度，单位为分贝(db)。③对数相频曲线的纵坐标按φ(ω)线性分度，单位为度(o)。)(lg20)(lg20)(AjGL构成半对数坐标系。例如：RC网络取T=0.5时的对数频率特性曲线。（P168图5-7）关于对数频率特性曲线的说明①横坐标按lgω分度，可实现横坐标的非线性压缩，便于在较大的频率范围内反映频率特性的变化。线性分度：当变量增大或减小1倍时，坐标间距离变化一个单位长度。对数分度：当变量增大或减小10倍（称为十倍频程）时，坐标间距离变化一个单位长度。关于对数频率特性曲线的说明)()()(321)(321)()()()()(jjjjeAAAeAjG321321)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(LLLAAAAL对数幅频)()()()(321对数相频②纵坐标的分度，可将幅值的乘除运算化为加减运算，简化曲线的绘制。关于对数频率特性曲线的说明|)j(G|lg20)(Alg20)(L(dB)ω=0不可能在横坐标上表示出来；只标注ω的自然对数值。5-2典型环节与开环系统频率特性1典型环节1）概念根据开环零极点可将分子和分母多项式分解成因式，将因式分类，即得到典型环节。典型环节分为两大类：最小相位环节和非最小相位环节。（P169）2）用途设典型环节的频率特性为：NiisGsHsG1)()()(根据典型环节的概念，可将开环传递函数表示为N个典型环节串联的形式。)()()(ijiieAjG则开环系统的频率特性为：NiijNiieAjHjG1)]([1])([)()(则系统的开环幅频特性和开环相频特性为：NiiNiiAA11)()()()(则系统的开环对数幅频特性为：NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(可见，了解了典型环节的频率特性，通过合成或叠加，可以简化系统开环频率特性的绘制。2典型环节的频率特性（P170图5-10和图5-11）比例环节0ImReKK)j(G频率特性：K)j(G)A(ojG)(0)(Klg20lg20)A()(L0)(K)s(G传递函数：积分环节90)(S1)s(G传递函数：j1)j(G频率特性：lg20)L(SK)s(G1传递函数：20lgK-20dB/dec-20dB/dec20dBL1()11jj1)j(G1|)(|)(jGA9001arctan)()(jG惯性环节11)(TssG传递函数：11)j(TjG频率特性：2211)A(TT)(arctanT122221lg2011lg20)L(TT()L()-90o+20dB/decT1微分环节)A(90)(ssG)(传递函数：j)j(G频率特性：lg20)L(120dB/dec20dB/dec-20dB振荡环节1212G(s)22222TssTssnnn传递函数：频率特性：121)G(j22TjT幅频特性：相频特性：对数幅频特性：2222)2()1(1)A(TT2212arctan)(TT)10(2222224)1(lg20)L(nnφ(ω)-180°L(ω)1/τ40lg(1/τ)-40dB/dec14dB-6dB1小123321nnn1)(ssG1j)j(G)()()(1tgjG1|)(|)(22jGA一阶微分环节)(tg)(11lg20)(L22结论①非最小相位环节和对应的最小相位环节幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称。对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0o线对称。例如，最小相位的惯性环节:11Ts11Ts与非最小相位的惯性环节:2211)A(TT)(arctan2211)A(TT)(arctan结论②传递函数互为倒数的典型环节对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；对数相频特性曲线关于零度线对称。例如：惯性环节与一阶微分环节同样适用：积分环节与微分环节、振荡环节与二阶微分环节结论③振荡环节与二阶微分环节参数ωn、ζ对频率特性曲线的形状有一定影响。相频特性曲线从0o单调减至-180o。幅频特性可能有极值。onnoo90)(;180)(;0)0(时当21)(;0)(;1)0(nAAA单调减）时，，（当单调减）时，，（且单调增）时，，（且），（当)(A1)(A)(A002222rr221nr可参照结论②互为倒数的典型环节3对数幅频渐进特性曲线近似表示对数幅频曲线，可简化作图，分低频和高频两部分。以惯性环节为例，其对数幅频特性为：22221lg2011lg20)L(TTTLlg20)(01lg20)(L时，即当T11T时，即当T11T，因此T1ω，得0L(ω(令低频部分，零分贝线。高频部分，斜率为-20db/dec的直线。两条线交于处，称为惯性环节的交接频率。T1T1惯性环节的对数幅频渐进特性为：TTaTL11,lg20,0)(用渐进特性表示对数幅频特性存在误差：)()()(aLLL()L()-90o+20dB/decT1-20dB/dec交接频率半对数坐标系中的直线方程：1212lglg)()(aaLLk可见，交接频率处误差最大，约-3dB。根据误差曲线可修正渐进特性曲线获得准确曲线。根据同样的分析方法，对于振荡环节，其对数幅频特性为：其对数幅频渐进特性为：nnnaL,lg40,0)(2222224)1(lg20)L(nn低频段0dB/dec线，过交接频率=n后斜率变为-40dB/dec直线。φ(ω)-180°L(ω)1/τ40lg(1/τ)-40dB/dec14dB-6dB1渐近线误差2n22n)2(])(1[lg20)(L2n2n22n)lg(20)2(])(1[lg20)(Lnn在=n处幅频特性精确曲线和近似曲线误差最大：L()|=n=-20lg(2)因此，近似曲线应根据值确定修正：0.10.20.30.40.50.70.80.91L()14.07.964.441.940-2.92-4.08-5.1-64开环幅相曲线绘制绘制概略开环幅相曲线，可以反映开环频率特性的三要素：①开环幅相曲线的起点（ω=0+）和终点（ω=∞）。②开环幅相曲线与实轴的交点。③开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）设ω=ωx时开环幅相曲线与实轴的交点，并称ωx为穿越频率。此时：即为交点的值。的实部或的虚部)()()]()([Re)()(2,1,0;)()()(0)]()(Im[)()(xxxxxxxxxxxxxjHjGjHjGjHjGkkjHjGjHjGjHjG