第五章 线性系统稳定性

第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT第五章线性控制系统的稳定性TheStabilityofControlSystems本章主要内容：稳定性的概念Routh-Hurwitz稳定判据反馈控制系统的相对稳定性计算机辅助分析设计实例教学目标：深刻理解动态系统稳定性的概念明白相对稳定性与绝对稳定性的概念理解S平面极点位置与系统稳定性的关系熟练掌握Routh表建立方法及应用Routh-Hurwitz判据判定系统稳定性参阅教材第6章，P246--272第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.1稳定性概念确保控制系统稳定是控制系统设计的前提和核心内容。一个不稳定的控制系统一般是没有使用价值的。一、系统稳定性定义一个稳定系统定义为：输出响应有限（有界）的系统。也就是说，如果系统受到有界输入或干扰的作用，其响应的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。控制工程师所设计的控制系统必须是稳定的。系统稳定不稳定绝对稳定相对稳定临界稳定就绝对稳定性而言，一个系统要么稳定，要么不稳定。只有绝对稳定性的系统称为稳定系统。对一个稳定系统可以用相对稳定性进一步衡量其稳定程度。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、线性系统稳定的充分必要条件QkRmmmmknMiisssszsKsqspsT112221)](2[)()()()()(QkRmmmtmmtkteBeAtymk11)sin(1)(对一个线性系统而言，其闭环传递函数为：它的脉冲响应：显然，要想系统响应有界，其所有极点的实部必须为负。反馈系统稳定的充分必要条件：系统传递函数的所有极点必须在s平面的左半平面。如果系统有任何一个极点不在左半平面，都称系统不稳定。如果有一对共轭根在虚轴（jω轴）上，其它根都在左半平面，则系统在有界输入作用下，其稳态输出将保持等幅振荡，只有输入为正弦波且频率为虚根的幅值时，系统输出才无界，此时系统称为临界稳定。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.2Routh-Hurwitz稳定性判据直接方法：求解出系统特征根，从而判定。系统稳定全部特征根在s左半平面充分必要系统特征根情况稳定性判定问题：高阶方程求解困难一、Routh-Hurwitz稳定性判据0...012211asasasasannnnnn系统特征方程列写Routh表............5554333211110321nnnnnnnnnnnnnnnnncbaacbaahcbaasssss312111nnnnnnaaaaab514131nnnnnnaaaaab3131111nnnnnnbbaabc判据内容：特征方程正实部根的数目与Routh表第1列中符号变化的次数相同第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1二阶系统0122)(asasasq列劳斯表如下：000112012abaasss特征多项式：01021101aaaaab可见：该二阶系统稳定的充分必要条件为特征式所有的系数均为正或所有的系数均为负。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、Routh-Hurwitz稳定性判据的应用劳斯—霍尔维茨判据表明，系统特征方程中具有正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化的次数。由此可得到：系统稳定则劳斯表中第一列元素的符号均为正或均为负；系统不稳定的根的数目等于符号变化次数。劳斯表第一列元素可能出现如下情况：（1）第一列元素均不为零；（2）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的其它元素不全为零。（3）劳斯表中出现全零行；（4）同（3）并在虚轴上有重根。............5554333211110321nnnnnnnnnnnnnnnnncbaacbaahcbaasssss下面分别情况进行应用讨论第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT情形1：首列中没有元素为零例2.三阶系统012233)(asasasasq劳斯表为：000111230123aacbaassss230121aaaaab01011ababc系统特征多项式为：该三阶系统稳定的充分必要条件是特征式的系数全为正，且3012aaaa如果a2a1=a0a3将意味着什么？第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT情形2：第一列元素中有元素为零，但为零元素所在行的其它元素不全为零。如果劳斯表首列中只有一个零元素，那么我们可以用一个逼近零的极小正数来代替。例3.系统特征多项式为1011422)(2345ssssssq列劳斯表为：0000101100106421002111012345dcssssss121241c6106111ccd首列出现两次符号变化，故系统不稳定且有2个不稳定极点。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT情形3：劳斯表中出现全零行。出现这种情况是由于特征多项式存在关于原点对称的根：s=±σ或s=±jω。处理方法：用全零行上面的一行系数构造辅助多项式U(s)。kssssq42)(23例4：考虑劳斯表为00428210123kkkssss80k0084828210123kssss系统稳定的充分必要条件是当K=8时0劳斯表出现全零行，需构造辅助多项式。)2)(2(2)4(2822)(2202jsjsssksssU显然有s=±j2的虚根。是否还有不稳定的根，需对U(s)关于s求导，以求导后的多项式系数构造全零行。04)(sdssdU4首列无符号变化，系统无不稳定极点。所以系统处于临界稳定。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT情形4：特征方程在虚轴上有多重根。122))()()()(1()(2345sssssjsjsjsjsssq例5.系统特征多项式为：显然其有两对相同的共轭虚根劳斯表为01101221111012345ssssss00用s4构建辅助多项式：2224)1()12()(ssssU再次用s2行系数构造的辅助多项式：ssdssdU44)(344012ss1行系数即为2，02可见：劳斯表首列无符号变化，故系统除有两对相同共轭虚根外，无其它不稳定极点。从而可以说系统处于临界稳定状态。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例6.焊接机器人焊接头由机械臂带动，自动到达不同焊接位置。焊接头位置控制系统如图确定使系统稳定的K和a的变化范围。解：系统特征方程为：0)6(116)3)(2)(1()(1)(1234KasKsssssssasKsG系统稳定充分必要条件：kakakkacbsssss)6(11613301234,6603kb3336)6(bkakbckkkak36)6)(60(600036)6)(60(060KaKaKKK系统稳定时K和a的变化范围为：第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.3反馈控制系统的相对稳定性利用Routh-Hurwitz判据，通过判断系统特征方程是否有位于s右半平面的根，可以确定系统的绝对稳定性。在系统稳定的情况下，还需要知道系统稳定的程度即相对稳定性。通过了解相对稳定性，可以帮助工程师判断系统超调量或者系统的阻尼强度，以及系统的鲁棒性。相对稳定性可以用特征根的实部所确定的系统特性来定义，也可以用共轭复数根的相对阻尼系数来定义。还可以用频率特性的幅值与相位裕度来定义。这里讨论利用特征根的负实部定义的相对稳定性及其应用。方法：根平面虚轴平移jωσ1第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1.新型电动轮椅装有非常实用的速度控制系统，框图模型如图。时间常数τ1=0.5s,τ3=1s，τ4=1/4sVelocity（1）确定使系统稳定的K的取值（K=K1K2K3）;（2）当K的取值为临界稳定增益的1/3时，确定系统按2%准则的调节时间是否小于4s；（3）确定增益K的取值，使系统的调节时间等于4s，并计算此时的系统特征根。P275P6.8解：（1）系统特征方程为：稳定条件得到K值范围：第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（2）当K的取值为临界稳定增益的1/3时，确定出K=11.25/3=3.75。系统闭环传递函数为系统的动态响应形态由复数主导极点确定，所以Ts=4/(ζωn)。而-ζωn正是复数极点的实部，设a=ζωn。将s平面虚轴左移a，系统将处于临界稳定。系统特征多项式变为：38147)14143()73(38)(14)(7)(2322323aaasaasasasasasnnnnnn00381471414373123210123aaaaacbassssnnnn3814773)38147()14143)(73(231232aaacaaaaaaabb=0时系统临界稳定，求得a=-0.64。即ζωn=0.64，Ts=4/0.64=6.25s，大于4s。第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（3）系统的调节时间等于4s，即Ts=4/(ζωn)=4。则ζωn=1主导极点的实部为-1，参照（2）的方法令s=sn-1,即将虚轴左移1，系统将处于临界稳定。系统特征多项式变为：KsssKsssnnnnnn834)1(8)1(14)1(7)1(232300838410123KKbssssnnnn4834Kb系统临界稳定，则b=0。解得K=1.50由辅助多项式求得：73.1301248422jjssKsnnn系统共轭复数极点为：s=-1±j1.73容易求得另一极点s=-5第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.火星自主漫游车的导向控制系统框图模型如图。反馈回路H(s)=Ks+1(1)确定使系统稳定的K的取值范围。（2）当s=-5为系统的一个闭环根时，计算K的值及其它闭环根。（3）对（2）求得的K，计算系统阶跃响应。解：（1）系统特征方程为：使系统稳定的K值范围：10第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（2）系统一个特征根为-5，则设系统特征方程为：与系统特征方程比较可得：系统另二根：（3）系统单位阶跃响应请同学们写出解析解第五章反馈控制系统的稳定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.4应用Matlab研究系统稳定性介绍两个新函数Pole()和Roots()第五章反馈控制系统的稳定性Coll