第五章 结构的位移计算

第五章结构的位移计算基本要求：理解实功、虚功、广义力、广义位移的概念，变形体虚功原理和互等定理。掌握荷载产生的位移计算。熟练掌握图乘法求位移。了解了解温度改变、支座移动引起的位移计算。§5.1概述一、结构位移种类AAA位移角位移线位移AAHAVA点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面角位移PAHAV绝对位移相对位移：指两点或两截面相互之间位置的改变量。FP1CHDHFP2FP3ABABCDABCD两点的相对水平位移CDCHDHAB两截面的相对角位移ABABFP1CHDHFP2FP3ABABCDAB还有什么原因会使结构产生位移?t二、使结构产生位移的因素制造误差等荷载温度改变支座移动为什么要计算位移?铁路工程技术规范规定:三、计算位移的目的(1)验算结构刚度在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。(2）建筑起拱和施工要求(3)为超静定结构计算打基础超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形协调条件。abABC1c?FP=1ABCabRAF四、虚力原理已知1c求虚功方程设虚力状态abFbFaFRAPRA0011cFRA1cab小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。——虚设力系求刚体体系位移五、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移c（2）杆CD的转角l3l23lABCDABCD13132ABCD1l21l2l23已知位移Ac求:cAc03111DccAcc3102112AclAcl21所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得kRkcF定出方向。（2）建立虚功方程01kRkcF练习：已知刚架支座B向右移动a,求。CVDHc、、解：1）求ΔCV1()()44CVddaahhCABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求CVDCADB10.50.5h/dh/dd/2d/22）求ΔDH)(2)21(1aaDHCADB1/h1/h00d/2d/2113）求CΔ)()1(1haahCCABhd/2d/2aD§5.2结构位移计算一般公式1.局部变形时静定结构的位移计算dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虚功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQFsin1QF01dFQQdFQQ例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移。m例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移。Q例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在ｉ－ｉ方向的位移。NBABAiiNNBA1NFNF由平衡条件：cos1NF虚功方程：01dFNNdFNN当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：dFdFdMNQNQMd推导位移计算公式的两种途径{由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－局部到整体。2、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsdddRiiddsddsddRdsR1（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds1QNFFM,,（2）微段两端相对位移：续基本思路：设,0ds微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。或dsFFMdQN)(dFdFdMdNQNQM3、结构位移计算的一般公式ii一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：dsFFMdQN)(dsFFMdQN)(0dsFFMdQN)(0KRKQNcFdsFFMd)(0适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。KRKQNcFdsFFM)(04.求位移步骤如下：①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；③利用位移计算一般公式求位移。5.广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移。ABAHBH+a)给定位移qABΔAHΔBHκ,γ0,εc)虚设单位荷载1AB1111,,NQFFMb)AB1NQFFM,,1d)虚设单位荷载2AB1222,,NQFFM=虚设单位载荷如上页图c)，d)所示。11011AHQNMdsFdsFds22021BHQNMdsFdsFds1212012Δ=Δ+Δ=()()()ABAHBHQQNNMMdsFFdsFFds由上图b)可得：121212QQQNNNMMMFFFFFF所以得：0ABQNMdsFdsFds所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：1)q求Δφ11单位荷载AB1/l1/l单位荷载ABlΔAVΔBV求AB+)/l=(ΔAVΔBV2)1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）ABFPΔAVΔBV原结构3)例:1)求A点水平位移所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.PAB2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1P1P1P1P§5.3荷载作用下结构的位移计算CABDNQFFM,,FP=1给定位移、变形κ,γ0,εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP)FPCABqDD01()QNMdsFFds若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：PMEI0QPkFGANPFEA上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。1QPNPPQNkFFMMdsFdsFdsEIGAEA1QQPNNPPkFFFFMMdsdsdsEIGAEA在荷载作用下，应变与内力0、、PQPMF、、的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）NPF正负号规则：1）不规定和的正负号，只规定乘积MPMPMM的正负号。若和使杆件同一侧纤维受MPM拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MMP正MMP负MMP2）和以拉力为正，压力为负；NFNPF3）和的正负号见下图。QFQPFQFQFQFQF各类结构的位移计算公式1.梁和刚架在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：Δ=PMMdsEI在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。§5.4荷载作用下结构的位移计算举例2.桁架桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：Δ=NNPFFdsEANNPNNPFFFFldsEAEA4.拱NNPPFFMMdsdsEIEA拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构NNPPFFlMMdsEIEA用于弯曲杆用于二力杆解：例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.Paak100PPP211122)()21(2]222)1)(()1)([(1EAPaaPaPaPEA练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.aaPk1110200P2P)()221(]2)2)(2(1[1EAPaaPaPEANFNPFNNPkHFFlEANPFNFNNPkVFFlEAPP=1例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载cosFQsinFNsinRMcosPFQPsinPFNPsinPRMP虚拟荷载下内力3）位移公式为QNMGAPREAPREIPR4443pkppds=Rdθθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2MNARI2412MQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载下内力dGAPRdEAPREIPRcossin20203kpp22h101R如2121RhPGAdsFQPFQEAdsFNPFNEIdsMMk例题5－3如图所示为等截面简支梁，其左半跨内均布荷载q，梁横截面的弯曲惯性矩为I，试求该梁中点截面C的角位移ΦC。解：在左半跨内(0≤x≤l/2):=ixMl223=(34)828PqlqqMxxlxx在右半跨内(0≤x≤l/2):=ilxMl=-)8PqlMlx（/220/23().(34).()88384iPclllMMdsEIxqdxlxqldxlxxlxlEIlEIqlEI作业•5-15-25-65-85-10§5.5图乘法在杆件数量多的情况下,不方便.下面介绍计算位移的图乘法.diPiPMMsEI刚架与梁的位移计算公式为：kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydxEIMM0wyEI01w×xtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线kidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα一、图乘公式推导BAkdxxMMK对y轴的静矩。图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。图乘法的适用条件是什么?AB1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线图形；（3）应取自直线图中。0y2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。cyww0y(1)曲-折组合112233Cyyy例如yc0Cyw1w2w3wwy2y1y3112211Cyyy(2)阶梯形截面杆jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法抛物线的顶点（FQ=0处）在抛物线的中点