第四章、向量组的线性相关性(文经)

1第四章向量组的线性相关性2§1、向量组及其线性组合§2、向量组的线性相关性§3、向量组的秩§5、向量空间§4、线性方程组的解的结构背景：向量及向量空间是最基本的数学概念之一，它不仅是线性代数的核心，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术、经济管理的各个领域，通过本章的学习可以进一步加深对矩阵的理解，并且对后续内容的学习会有很大的帮助。3§1向量组及其线性组合中学数学中接触过平面上的向量，可以称为二维向量。高等数学介绍过空间几何中的向量，可以称为三维向量。然而仅仅考虑平面几何中的向量和空间几何中的向量是不够的。例如，人造卫星在太空运行中不仅要考虑它运行的几何轨迹，还要考虑它在某一个具体时刻的状态，比如处于什么位置、其表面温度、此时受到的压力等等物理参数的情况，这时二维和三维向量就无法表达这么多的信息，必须推广到更多维数的向量。背景：4称为一个n维向量，简称为向量。naaa21或列向量定义1n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）12,,,naaa行向量其中,数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。5注意:向量一般用小写的希腊字母等表示，其中n为向量的维数。一般所说的向量都是指列向量,行向量可看作是列向量的转置．,12(,,,)Tnaaa12(,,,)Tnbbb如:如果向量和对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就称这两个向量相等，记为。说明：二维和三维向量表示的几何图形是一条有向线段，但四维及四维以上的向量不表示任何图形6如：向量与的和分量全为零的向量(0，0，…，0)T称为零向量数k与向量的数量乘积（简称为数乘）k12(,,,)nkakaka记为-12=(-,-,,-)naaa称为向量的负向量)(向量的减法定义为1122(,,,)nnababab说明：由于列向量就是一个列矩阵，所以列向量满足列矩阵的所有运算法则和运算律。7若干个维数相同的列向量或者行向量所构成的集合称为一个向量组如:向量组12,,,m定义2:再如:mnAnm一个的矩阵的列组成一个维的列向量组Amn而矩阵的行又组成一个维的行向量组反之，由有限个向量组成的向量组也可以构成一个矩阵总之，向量组与矩阵之间是一一对应的8设向量组12,,,m对于任何一组实数12,,,mkkk称1122mmkkk为该向量组的一个线性组合定义3思考:一个向量组有多少个线性组合?说明:目前提到的向量组一般指含有有限个向量组成的，后面会遇到由无限个向量组成的12,,,mkkk其中称为这个线性组合的系数91122mm则称向量是向量组A的一个线性组合，或称向量可以由向量组A线性表示。定义4：给定向量组和向量，如果存在一组实数使得12:,,,,mAm,,,21问题1.零向量是任何向量组的线性组合吗?为什么？问题2.任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示吗？121211000200100miiim答：10例如：12342100050100,,,,3001000001可以看出2100050100253030010000011234=2530即所以，是向量组的线性组合，或可以由向量组线性表示。1234,,,1234,,,11如何判断一个向量是否可由一个向量组线性表示？定理1121212,mmmAB向量能由向量组，，，线性表示的充分必要条件是矩阵，，，的秩等于矩阵，，，的秩例1课本84页121122mmmxxx实际上，向量能由向量组，，，线性表示就是指方程组+有解12定义5如果向量组中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组12:,,rA12:,,sB可由向量组12:,,sB12:,,rA线性表示12:,,sB12:,,rA12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA可由向量组12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA线性表示可由向量组12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA定义5如果向量组中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组12:,,rA12:,,sB线性表示可由向量组12:,,sB12:,,rA12:,,sB12:,,rA定义5如果向量组中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组12:,,rA12:,,sB定义5如果向量组中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组12:,,rA12:,,sB如果两个向量组可以互相线性表示，就称它们等价。若向量组可以由向量组线性表示，则必存在一个矩阵，使得srKAB1212(,,,)(,,,)rssrKsrKAB其中，称为向量组可以被向量组表示的系数矩阵思考：如何判断一个向量组可以被另一个向量组线性表示呢？13定理21212::()(),mtABRARBRAB向量组，，，与向量组，，，等价的充分必要条件是矩阵,RARAB即推论12121211::,,,tmmmtBAAAB向量组，，，能由向量组，，，线性表示的充分必要条件是矩阵，，，的秩等于矩阵，，，的秩见课本85页例214定理312121212::()()tmtmBARR设向量组，，，能由向量组，，，线性表示，，，，，，15向量组具有的线性相关或线性无关的性质称为向量组的线性相关性定义1对于向量组，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km，使1122mmkkkm,,,21则称该向量组线性相关反之，如果只有在k1=k2=…=km=0时上式才成立，就称向量组线性无关。m,,,21§2向量组的线性相关性注意:讨论向量组的线性相关性，一般是指该向量组要含有两个或两个以上的向量。如果一个向量组只含有一个向量，由定义可知如果该向量是零向量，那么一定是线性相关，若是非零向量则一定线性无关。16解：对任意的一组数k1,k2,…,kn都有112212(,,,)Tnnnkkkkkk所以要使1122nnkkk因此线性无关。n,,,21是由阶单位矩阵的各列组成的，称为单位坐标向量nn,,,21例1判断向量组的线性相关性。(1,2,,)inn,,,21其中，是n阶单位矩阵的第列ii12===0nkkk必须说明：两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面。17例2讨论向量组1=(1,－1,1)T,2=(2,0,－2)T,3=(2,－1,0)T的线性相关性。解：设有一组数1，2，3,使即(1+22+23,－1－3,1－22)T=(0,0,0)T有1+22+23=0－1－3=01－22=011+22+33=解得：3=－11221不妨取1=2,得非零解1=2，2=1,3=－2所以，向量组1,2,3线性相关。思考:除了利用定义还有没有其他方法可以判定向量组的线性相关性呢？18定理1向量组（m≥2）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示。122mmkk即必要性:所以线性相关。m,,,2112233mmkkkm,,,21使mmkk110mk则1111mmmmmkkkk即可由线性表示m11,,m充分性:设不妨设设该向量组线性相关，则存在一组不全为零的数mkkk,,,21121,,,m设向量组中至少有一个向量可由其余的向量线性表示，不妨设可由其余的线性表示19例如，向量组是线性相关的21331(2,1,3,1),2(4,2,5,4),3(2,1,4,1)推论：2.若两个非零向量1，2线性相关即1，2对应分量成比例1=k2(其中k0)这是因为1.包含零向量的向量组一定线性相关思考：若一个向量组线性相关，则该向量组中任意一个向量都可以用其余向量线性表示吗？答案：不一定123213112===020例如：向量组，，线性相关，但不能由，线性表示123110===022而向量组，，线性相关，其中的每一个向量都能由其余两个线性表示20回忆：112212(),,mmmxxxRARm齐次线性方程组+有非零解的充要条件是,得到：定理21212:().mmARARm向量组，，，线性相关的充分必要条件是矩阵，，，1212:()=.mmARARm向量组，，，线性无关的充分必要条件是矩阵，，，21例3判断向量组1=(1,－1,1)T,2=(2,0,－2)T,3=(2,－1,0)T的线性相关性。231A解：对矩阵，，做初等行变换化为行阶梯型231122=-10-11-20A，，122021000231()=23RA，，所以该向量组线性相关22例4设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。321,,211322133321,,证设有k1,k2,k3,使112233kkk且线性无关，故有321,,000322131kkkkkk由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以线性无关。321,,332221131332211)()()(kkkkkkkkk+++++=++又其他证法参考课本88页例题623定理31212+1(1)mmmAB若向量组：，，，线性相关，则向量组：，，，，也一定线性相关(部分相关整体相关)（2）当mn时,m个n维向量组成的向量组线性相关。特别的，n+1个n维向量一定线性相关（即当向量组中向量个数大于向量维数时必定线性相关）12+112(3)mmmBA若向量组：，，，，线性无关则向量组：，，，也线性无关(整体无关部分无关)24定理4设向量组A:线性无关，而向量组B:线性相关，则能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。12,,,,t12,,,t12,,,t证明见89页课本90页例725背景：(1)1，2，…，r线性无关；(2)任取，总有1,2,…,r,线性相关A设1,2,…,r是某向量组中的r个向量，若满足条件A则称1,2,…,r为向量组的一个最大线性无关组，简称最大无关组。A§3向量组的秩定义1从上节讨论可知向量组的线性相关性与矩阵的秩有关，而矩阵与向