第二章 1金属塑形变形力学基础

2020/1/191第二章金属塑形变形力学基础应力状态分析：塑形力学基本假设变形体内一点应力状态分析2020/1/192应力分析截面法一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。2020/1/193设ΔA为B面过Q点的截取的面积，ΔA上作用的内力的合力为ΔF，ΔF等于经过Q点的力F1.。。F8的矢量和），则Q点的全应力为AFSAnlim0图：2-1全应力S可分解为与B面法向n一致的分量σ和与B面平行的分量τ，分别称为Q点的正应力和切应力。2-1表示物体受外力F1.F8作用下的平衡状态，过Q点做法线为n的平面B222S2020/1/194全应力的分解方式一种沿法向、切向分解正应力：切应力：刚才我们分解全应力是在法线N和B平面的空间来分解。现在我们在三维坐标系中分解全应力，可以沿坐标轴分解为Sx、Sy、Szns52222ZyxnSSSS刚才我们分解正应力和切应力是在法线N和B平面的空间来分解，现在我们把正应力和切应力在三维坐标系中进行向量分解,我们首先在XOY平面上进行分解，用xoy平面切取Q点（Q点与原点O重合），假设全应力为S1，从s点分别向z轴和xoy平面做垂线。（z轴垂直于XOY面，是XOY面的法线）6大家要留意这里的全应力s1，并不等于刚才B平面截取Q点得到的全应力的ns因为用不同角度截面切取P点，其截面积ΔA不相等。Q7设Q点受单向均匀拉伸，Q点的全应力会随著截面的方位变化而改变。过Q点做垂直于拉伸方向P的截面A，截面A，截取Q点面积为dA截面上的全应力为：S=P/daaSaSasPsin*cos*cosdQn过Q点做切面B，其法线n，于拉伸方向P成a角，截面积为d/cosaAB8zxzy现在我们把投影在xoy面的切应力，进一步分解，得到2个应力分量。bcd9现在我们把刚才的主应力加上，就可以得到全应力S投影在xoy面的主应力和切应力。这样全应力S就在xoy面上被分解成3个分量。（，，）zxzyZZzxzy同理，我们又用xoz平面截取Q点求得全向量S2向量分解，得到3个分量),,(yxyzy又用zoy平面截取Q点求得全向量上对S3向量分解，也会得到3个分量),,(xyxzx10这样，我们就可以把Q点在三维坐标系中的应力状态用下面矩阵描述。zyzxzyzyxyxzxyx因为以后会涉及到对称矩阵，所以我们规定Q点在三维坐标系中的应力状态下面矩阵描述三维坐标系的应力分量和应力张量点的应力状态是指变形体内一点任意方向平面上的应力情况。但过一点可作无数个平面，是否要用无数个平面上的应力才能描述点的应力状态呢？通过下面的分析可知，只需用过一点的任意一组相互垂直的三个平面上的应力就可代表点的应力状态，而其它截面上的应力都可用这组应力及其与需考察的截面的方位关系来表示。2020/1/19111．直角坐标系中点的应力张量如图2-2所示，P为直角坐标系0XYZ中一变形体内的任意点，在此点附近切取一个各平面都平行于坐标平面的六面体。每个微面全应力可以分解为一个正应力和两个切应力。此六面体上三个互相垂直的三个平面上的应力分量即可表示该点的应力状态。122-2直角坐标系应力分量对照图2-2已知，应力分量的第一个下标表示作用平面的法向；第二个下标表示应力作用的方向。正应力的两个下标是一样的，故用一个下标简写之。刚才我们已经分析完一个任意全应力s可以在坐标平面分为3个分量。上面的面截取P点得到一个全应力，他可以分解为3个分量其中一个正应力，两个切应力。。13为规定应力分量的正负号，首先假设：法向与坐标轴正向一致的面为正面；与坐标轴负向一致的面为负面。进而规定：正面上指向坐标轴正向的应力为正，反之为负；负面上指向坐标轴负向的应力为正，反之为负。三个正面上有3个全应力、可以分解成共有九个应力分量（包括三个正应力和六个切应力）。此九个应力分量可写成如下矩阵形式：2020/1/1914zzyzxyzyyxxzxyxx方向y方向z方向x面y面z面2020/1/1915去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。zyzxzzyyxyzxyxxij16由于切应力互等定理，即单元体处于静力状态，不发生旋转。上列矩阵中对角的切应力是相等的，即：τxy=τyx,τyz=τzy,τzx=τxz。因此，此矩阵为对称矩阵，九个应力分量中六个应力分量是独立的，P点应力状态如下面矩阵表示，6个分量表示。2020/1/1917柱坐标系下的应力表达如果变形体是旋转体，我们通常是采用柱坐标，3个坐标轴为r(径向）Ѳ（周向），Z（轴向）。ijrzrrzrzrzz2020/1/19182．应力张量及其不变量张量在力学中是一个十分重要的概念。标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。2020/1/1919标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量（只有大小）。矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。矢量可以称之为一阶张量（有大小、有方向）20而张量相当于矢量的集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。zyzxzzyyxyzxyxx321,,sssij应力张量为二阶张量（有大小、有方向、有方位）三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。刚才我们分析了任意一点P在3维坐标空间下的应力状态，切割P点的3个平面都是互相垂直，并且平行于坐标面。如果我们用一个斜面来切割P点，其应力分量就会发生变化。213.一点在任意斜面上的应力如果变形体中一点应力状态已知，即6个应力分量已知，便可以求的任意斜面上的应力。22设O点在xyz坐标下的应力分量已知，任一斜面ABC的法向为N，如图2-3所示。图2-3Q点应力状态23该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦为：cos(n,x)=l、cos(n,y)=m、cos(n,z)=n三个垂直坐标面的面积可以表示为：ldsxnSSABCOBC,cosmdsynSSABCOAC,cosndsznSSABCOBA,cosxzagn1222nml方向余弦有：Snx、Sny、Snz分别为全应力Sn在X、y、z轴上的投影24nSSmSSlSSnnznnynxn2222nZnynxnSSSS2020/1/1925由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即0X0Y0Z在x方向：在y方向：在z方向：0ndsmdsldsdsSzxyxxnx0ndsmdsldsdsSzyyxyny0ndsmdsldsdsSzyzxznz2020/1/1926整理后可得方程用矩阵表示为nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynx（※）2020/1/1927得出Snx、Sny、Snz就可以求得微分斜面上的合应力Sn，Sn向法线n方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，向ACB面投影可得到切应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即将Snx、Sny、Snz带入上式得微分面上的剪应力为nSmSlSnznynxnnlmnlmnmlzxyzxyzyxn222222222nnnS2020/1/1928综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力已知时，便可确定该点的应力状态。xyzyxxyzyyzxzzxij2020/1/1929应力边界条件方程如果该四面体素（刚才OAB面的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，那么内力全应力S与Q点上外力P平衡。也就是外力P在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，与Snx、Sny、Snz相等，则nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxP2020/1/1930课后练习已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上的分量Sx、Sy、Sz，及斜面上的法线应力n和切应力n。31nmlN2020/1/1931解：首先确定各应力分量x=10、y=10、z=0、xy=yx=5、xz=zx=5、yz=zy=0（单位MPa）。由3531031031531531031103153203153153110nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx3265222zyxSSSS2020/1/193234031)52521010(222222nlmnlmnmlzxyzxyzyxn143593503403650222nnS