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2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 第十讲 一元一次方程 一、一元一次方程的解法 相关概念： 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立。 方程：含有未知数的等式。 （两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。） 元：未知数的个数（几种未知数就是几元）； 次：未知数最高次项的次数。 解一元一次方程步骤： （1）去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号） （2）移项（过桥变号） （3）合并 （4）求解 前两步易错。 例1：①2X+12=4X‐12 解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并） X=12（求解；最后一步建议把X写左边） ②10（X+2）=4（2X+7） 解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律） 10X‐8X=28‐20（移项，注意变号） 2X=8 X=4 超常学案1：①8X‐2（7+X）=4 解： 8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配律；②括号前是减号要变号 8X‐2X=4+14 6X=18 X=3 补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】 3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】 二、列方程解应用题 步骤：设、列、解、（检验）、答。 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。直接根据题意列方程求解即可。 设未知数有直接设未知数和间接设未知数。 （一）直接设未知数 例2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。 解：设小李今年X岁，爷爷今年5X 今年的年龄 12年后的年龄 小李 X X+12 爷爷 5X 5X+12 根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，” 列得方程：5X+12=3（X+12） 解得X=12 答：小李今年12岁。 注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。 例4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每天做10个，还差3个完成任务；如果每天做11个，就可以提前1天完成。他的工作期限是多少天？ 解：设工作期限是X天。（根据总量相等列方程） 10X+3=11（X‐1） 解得，X=14 答：工作期限是14天。 【附：本题的算术解法：（11+3）÷（11‐10）=14（天） 而解方程的过程 10X+3=11（X‐1） 10X+3=11X‐11 11+3=11X‐10X X=（11+3）÷（11‐10） 可见算术方法和方程是对应的。算术方法对应着解方程的过程。有的题目有多种算术方法就可以列得多个不同的方程。如鸡兔同笼，有兴趣的同学可以试试，有助于加深对方程的理解。】 例5：（和差问题）把161分成两个数，使两数之和是两数之差的7倍，求这两个数各是多少？ 解：两数差为161÷7=23，设较小数为X，则大数为X+23，根据两数和为161 解方程X+（X+23）=161 解得X=69 则较大数为69+23=92 答：大数为92，小数为69。 例6：（迎春杯真题）王二小放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问二小一共有2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 多少只鸭子。二小答道“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100”。王二小一共有多少只鸭子? 解：设王二小有X只鸭子。 根据“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100”。 列方程： X+X + X‐X + X×X + X÷X = 100 化简得， 2X+2X+1=100 此方程为一元二次方程，一般看到都感觉不太会解。可以采用如下三种方法： 方法一：尝试法由于数字不太大，可以尝试得X=9 方法二：2X+2X+1=100 2X+2X=99 X（X+2）=99 X与X+2是两个相差二的自然数，乘积为99，只能分解为9×11 X=9,X+2=11 方法三：（完全平方公式）()2222abaabb+=++ ()2222abaabb+=++ ()21X+=2X+2X×1+21=2X+2X+1 原方程华为()21X+=100 即()21X+=210 X+1=10 X=9 答：王二小有9只鸭子。 【附：完全平方公式的证明： 如图所示：正方形边长为a+b， 面积为()2ab+； 又可以如图分割：面积为222aabb++ 所以()2222abaabb+=++ 口诀：首平方，尾平方；二倍乘积在中央。】 补充两道小升初真题： 补充1：大小两池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容量是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？ 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 解：设两池中共有水X吨。 若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水，说明大池容量为X‐5； 若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水，说明小池容量为X‐30。 根据“大池容量是小池的1.5倍，”列方程： X‐5=1.5（X‐30） 解，得X=80 答：两池中共有80吨水. 补充2：一群学生进行篮球测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表： 进球数 0 1 2 …… 8 9 10 人数 7 5 4 …… 3 4 1 还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进球不到8个球的人平均投进3个球，问：共有多少人参加测验？ 分析与答： 【平均数问题：总数=平均数×数量 本题乍一看毫无头绪，就是因为中间的信息不全，但从条件入手，就可以巧妙的回避省略号处不全的信息。列方程解应用题一定要找到等量关系，同一个量，用两种不同的表达方式把它表示出来，就得到方程。本题中： 投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数。 设共有X人参加测验。 至少投进3个球的人数为（X‐7‐5‐4）人，已知至少投进3个球的人平均投进6个球，则至少投进3个球的人共投进6×（X‐7‐5‐4）个球，则投中的总球数（等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数）为0×7+1×5+2×4+6×（X‐7‐5‐4）=6X‐83； 投进不到不到8个球的人数为（X‐3‐4‐1）人，已知投进球不到8个球的人平均投进3个球，则投进球不到8个球的人共投进3×（X‐3‐4‐1）个球，则投球的总数（等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数）为3×（X‐3‐4‐1）+8×3+9×4+10×1=3X+46； 列方程6X‐83=3X+46】 解：设共有X人参加测验。 0×7+1×5+2×4+6×（X‐7‐5‐4）=3×（X‐3‐4‐1）+8×3+9×4+10×1 解，得X=43 答：共有43人参加测验。 （二）间接设未知数 超常123学案3：水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜买完后还剩下70个西瓜。问：水果店运来的西瓜和哈密瓜共多少个？ 解：设卖了X天。（由于两种水果卖的个数和天数紧密相关，故选择设天数2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 为未知数） 卖 剩 共 西瓜 130X 70 130X+70 哈密瓜 36X 0 36X 根据“水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，”列方程： 130X+70=4×36X 解得X=5 西瓜：130×5+70=720（个） 哈密瓜：36×5=180（个） 共720+180=900（个） 答：水果店运来的西瓜和哈密瓜共900个。 例7：一次数学竞赛，某校六年级学生参加的人数是未参加的3倍，如果六年级人数学生减少16人，未参加的学生增加8人，那么参加的是未参加的2倍。六年级总人数是多少？ 解：根据“六年级学生参加的人数是未参加的3倍”，选择设未参加的人数为X，参加的为3X。 变化前 变化后 参加 3X 4X‐16‐( X+8)=3X‐24 未参加 X X+8 一共 4X 4X‐16 根据“参加的是未参加的2倍”得方程： 3X‐24=2（X+8） 解得，X=40 总人数4X=160（人） 答：六年级总人数160人。 超常123班学案4：今年兄弟俩的年龄和是55岁，曾经有一年，哥哥的年龄刚好是弟弟今年的年龄，而那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的2倍。兄弟俩今年分别多少岁？ 解：根据“那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的2倍”设那时弟弟年龄为X，则那时哥哥年龄为2X。隐含信息：年龄差为X 哥哥 弟弟 曾经有一年 2X X 今年 2X+X=3X（年龄差不变为X） 2X（曾经有一年，哥哥的年龄刚好是弟弟今年的年龄） 今年兄弟俩的年龄和是55岁，列方程 3X+2X=55 解得X=11 哥哥今年：3X=33；弟弟今年：2X=22 答：哥哥今年33岁；弟弟今年22岁。 例8：甲乙丙三人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？ 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 解：由“当甲的年龄是乙的2倍时，……”可知年龄：甲＞乙； 由“当乙的年龄是丙的2倍时，……”可知年龄：乙＞丙； 综上，甲＞乙＞丙 根据“当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁”设这时乙X岁，则甲2X。 隐含条件甲乙年龄差：甲‐乙=X； 甲丙年龄差：甲‐丙=2X‐22. 甲 乙 丙 年份1 2X X 22 年份2 31 31‐X （甲乙年龄差：甲‐乙=X） 31‐（2X‐22）=53‐2X （甲丙年龄差：甲‐丙=2X‐22） 年份3 60 ？ 根据“当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁”，列方程： 31‐X=2（53‐2X） 解，得 X=25 至此，表格信息已全，无论原题问什么都可求： 甲 乙 丙 年份1 2X=50 X=25 22 年份2 31 31‐X=6 53‐2X=3 年份3 60 ？=32 或由甲‐丙=2X‐22=28直接列式：60‐28=32 答：当甲60岁时，丙是32岁。