第二讲-鸡兔同笼-水印版.pdf超常班

2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳[e-mail]第二讲鸡兔同笼鸡兔同笼是中年级应用题模块的一个重点和难点，解决鸡兔同笼的花哨方法有很多，但通用方法是假设法，假设法的思想在高年级的后续学习中还会用到。鸡兔同笼的变型题在五六年级和初一都会遇到，高年级遇到鸡兔同笼是我们可以用一个强大的数学工具——方程来解决。但在三四年级，我们一定要透彻理解假设法的本质，这对我们思维的训练以及后续知识的学习是很有帮助的。本讲的鸡兔同笼主要有三大类题型：基本型鸡兔同笼；和差倍型鸡兔同笼；多种事物的鸡兔同笼，下面逐一介绍。基本型鸡兔同笼1、基础型的鸡兔同笼我们来看一个小例子：如鸡兔同笼，头10个，腿28条，问鸡兔各几只？我们二年级是通过画图的方法来理解假设法的，一起回顾一下：方法一：兔子投降法假设全部都是鸡，总腿数为：10×2=20（条）总差（与实际相比，少算了）：28-20=8（条）所以要把8条腿添上去单位差（一只兔子当做鸡来算，少算）：4-2=2（条）每只鸡添两条腿变成兔子兔子数：（28-10×2）÷（4-2）=4（只）有四只鸡变成兔子，是兔的数量鸡数;10-4=6（只）注意假设是全部都是鸡时，先求出的是兔子的数量。方法二：鸡拄拐法假设全部都是兔，总腿数为：4×10=40（条）总差（与实际相比，多算了）：40-28=12（条）所以要去掉12条腿单位差（一只鸡当做兔子来算，多算）：4-2=2（条）每只兔去掉两条腿变成鸡鸡数：（4×10-28）÷（4-2）=6（只）有四只兔子变成鸡，是鸡的数量兔数：10-6=4（只）假设全部是兔时，先求出的是鸡的数量。2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳[e-mail]通过这个小例子，我们一起总结一下，下面四个问题：什么是基础型的鸡兔同笼：已知每只鸡2条腿，每只兔4条腿，已知鸡兔总数，和鸡兔腿总数，求鸡兔各几只。鸡兔同笼问题的本质：（1）两种不同的事物如鸡和兔（2）它们有相同点如鸡兔都有一个头，那么在做鸡兔同笼变形题时把数量相同的特征看做头（3）它们有不同点如鸡兔腿的数量不同，把数量不同的特征看做腿附：本讲为了区分把头的单位写作只，腿和脚的单位都写成条。基本型鸡兔同笼的解决方法：（1）假设（2）找总差（3）找单位差（4）求出另一种事物的数量鸡兔同笼问题的基本公式：（1）假设全兔：鸡数=（每只兔脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)兔数=鸡兔总数-鸡数注意假设全兔时先求出的是鸡的数量。（2）假设全鸡：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)鸡数=鸡兔总数-兔数注意假设全鸡时先求出的是兔子的数量。不建议孩子们死记硬背公式，希望透彻理解，才能灵活应用例1鸡兔同笼，共35只，共100条腿，问鸡兔各几只？分析与答：方法一：假设法孩子们自己试一下（1）假设全鸡：（2）假设全兔：方法二：砍足法（金鸡独立法）（本方法了解一下即可，不通用，重点还是假设法）假设所有的动物用一半的腿站立，即鸡用1腿，兔用2腿。这时只剩下100÷2=50条腿这样的好处是：鸡的头腿数量相同，而兔腿数比头数多一。所以腿比头多的数量就是兔子的数量，兔数：50-35=15（只）鸡数：35-15=20（只）注：(1)建议孩子们在熟悉之后可以列综合算式解鸡兔同笼问题。(2)假设法可以假设全鸡或全兔，本讲之后的例题只给一种，但希望孩子们把两种方法都练习一下。2、变形的鸡兔同笼例2上衣和裤子共21件，用了439元，其中上衣每件24元，裤子每件192011春季班三年级超常班学而思侯晓琳[e-mail]元。问上衣裤子各几件？分析与答：两种事物：上衣和裤子；数量相同的特征：都是1件，看作头；数量不同的特征：上衣24元，裤子19元，看做腿假设全是上衣，共21×24=504（元）总差（多花的钱）：504-439=65（元）单位差（每条裤子当做上衣多算的钱）：24-19=5（元）裤子的条数：（21×24-439）÷（24-19）=13（条）上衣：21-13=8（件）例3运送100只花瓶，每只运费1元，但如果发生损坏，每打破一只不仅不给运费，而且要赔偿1元，结果共得运费92元，问打破了几只花瓶？分析与答：两种事物：完好的花瓶和损坏的花瓶；数量相同的特征：都是一个，看做头相同数量不同的特征：好花瓶得1元，坏花瓶扣1元，看做腿数不同。假设全是好花瓶，应得100元，总差100-92=8元单位差：1+1=2元，一定要理解为什么用加法，因为不但得不到1元运费，还要倒赔1元一共应差两元。打破的花瓶数为：（100-92）÷（1+1）=4（个）例3补充练习：一次数学竞赛，共20道题，对一题得5分，错或不答倒扣2分。某同学得79分，问对了几道题？答：对了17题。3、可转化为基础型的鸡兔同笼超常1，2，3班学案1鸡兔同笼，共46条腿。如果将鸡兔数量互换，那么总腿数变为38条。问原来的鸡兔各几只?分析与答：分析本题和基础型鸡兔同笼的差距，已知每只鸡2条腿，每只兔4条腿，和鸡兔腿总数，求鸡兔各几只。唯一不同之处是鸡兔总数未知，所以我们要想办法先求鸡兔总只数。如果将鸡兔数量互换，那么每只都被算过两次（被当做兔子和鸡各算过一次），每只动物都被算了（2+4）条腿，一共有（46+38）条腿所以鸡兔共（46+38）÷（2+4）=14（只），这样就转化成基础的鸡兔同笼了。已知每只鸡2条腿，每只兔4条腿，已知鸡兔共14只，共46条腿，求鸡兔各几只。同学们自己算一下：鸡5只，兔9只。和差倍型鸡兔同笼1、头一样或可转化为头一样的鸡兔同笼鸡兔头数一样时，有鸡的数量=兔的数量，这时可以把1只鸡和1只兔分成一组补充例题：鸡兔同笼，鸡比兔多26只，共有274只脚，问鸡兔各几只？分析与答：鸡比兔多26只，数量不一样，我们要把数量变一样，还是存在两2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳[e-mail]种办法方法一：减少鸡的数量，假设鸡少26只，这时共有274-26×2=222（条）鸡的数量减少26只之后，兔子数量和鸡的数量相等，把一只鸡和一只兔分为一组，每组有腿2+4=6（条）共有222÷6=37（组）兔数：37只，鸡数：37+26=63只方法二：增加兔的数量，同学们可以自己尝试一下2、腿一样或可转化为腿一样的鸡兔同笼当鸡兔腿数一样时，有鸡的数量=2×兔的数量，这时可以把1只兔和2只鸡分成一组例5鸡兔同笼，鸡兔共有107只，兔脚比鸡脚多56只，问鸡兔各几只？分析与答：兔脚比鸡脚多56只，数量不一样，我们要把数量变一样，还是存在两种办法方法一：减少兔的数量，假设兔子减少56÷4=14（只）这时鸡兔共有107-14=93（只）兔子减少14只之后，兔脚和鸡脚数量相等，那么鸡的数量是兔子数量的2倍，把一只兔和两只鸡分成一组，可求出组数为93÷（2+1）=31（组）那么，鸡的数量：31×2=62（只）兔的数量：31+14=45（只）方法二：增加鸡的数量，希望同学们自己尝试一下例5补充练习：现有大小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶多装了20千克，问大小瓶各几个？答案：大瓶20个，小瓶30个。3、须自己根据题意判断如何分组的鸡兔同笼超常1，2，3班学案3鸡兔同笼，兔比鸡的3倍少6只，鸡兔共有116条腿。求鸡兔各几只？分析与答：兔比鸡的3倍少6只，兔和鸡的3倍作比较，还是先把差异消除，这时简单的方法只有一种，就是改变兔子的数量，假设兔子多6只，这时鸡兔共有腿116+4×6=140（只），兔子减少6只以后，兔数=鸡数的3倍，这时可以把3只兔和1只鸡分成一组，每组有脚数3×4+1×2=14，组数为140÷14=10（组）鸡数：10（只），兔数：10×3-6=24（只）本题易错点有二：（1）注意兔数=鸡数的3倍，这里把3只兔和1只鸡分成一组，有些同学不够细心，把1只兔和3只鸡分成一组了，遇到这类题可以画图辅助理解一下，并且一定在分好组后对应题意检查一下（2）很多同学这里易错，140是脚的数量，求组数直接拿总脚数÷每组的脚数，有些同学用140÷（3+1），用总脚数÷每组头数是没有意义的；换言之求组数可以用总只数÷每组只数，或者用总脚数÷每组的脚数，一定要对应除。总结一下这类题的解题步骤：（1）观察题中把总只数或总脚数哪个的总量加以比较，有差距就减少某种动物或增加另种动物的方法把差异消除，然后合理分组。（2）通过总只数÷每组只数，或者用总脚数÷每组的脚数求组数（3）进而求出兔数鸡数2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳[e-mail]多种事物的鸡兔同笼我们会解决的问题就是两种事物的鸡兔同笼，所以遇到多种动物的鸡兔同笼问题，核心思想是把多种转化成两种事物，具体有三种情况。1、相当于两种动物的鸡兔同笼补充例题：一些奇异的动物在草坪上聚会，有独角兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、四只脚）。如果共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独角兽有多少只？分析与答：当题目条件很多时，我们可以借助表格的方法把条件整理并明晰的列出来独角兽双头龙三脚猫四脚蛇头数1211脚数1434题中有句很关键的话，四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，这样就可以一只双头龙和两只四脚蛇分成一组（注意不要弄反）每一组有头2+1×2=4（只）脚4+4×2=12（条），脚数=头数的三倍，和三脚猫一样，这样双头龙和四脚蛇完全转化成了三脚猫。就变成了两种动物的鸡兔同笼了。独角兽三脚猫总数头数11共58个头脚数13共160只脚让我们求独角兽的数量，假设全是三脚猫，则独角兽（3×58-160）÷（3-1）=7（只）总结：本题给了四种动物，但不同点只有一类：脚数，不过多了一个“四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍”的条件，那么一定要抓住这个关键条件，把多种动物合并，遇到多种动物的鸡兔同笼问题，不要被它的表面吓到，就像本题，仔细分析一下，就转化成两种事物的了。2、运用多次基本型可解决的问题例6有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有几只？分析与答：当题目条件很多时，我们可以借助表格的方法把条件整理并明晰的列出来蜘蛛蜻蜓蝉总数头数111共18只腿数866共118条腿翅膀数021共20对翅膀我们观察蜻蜓和蝉的腿数一样，不看翅膀方面的条件时，可以把它们看做一种动物，比如统称为“6腿”。蜘蛛6腿（蜻蜓或蝉）总数2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳[e-mail]头数11共18只腿数86共118条腿这样可以求出蜘蛛和6腿，假设全部是蜘蛛，6腿的数量：（18×8-118）÷（8-6）=13（只），即蜻蜓和蝉一共13只，这时在利用翅膀的条件就可以分别求出蜻蜓和蝉了蜻蜓蝉总数头数11共13只翅膀数21共20对翅膀假设全是蝉，蜻蜓数为：（20-1×13）÷（2-1）=7（只）总结：本题动物数量多了一种，但是不同点有两类:腿和翅膀，这种类型的题一般是用两次鸡兔同笼来解决。3、运用分组法和平均法可转化成基本型的鸡兔同笼问题例7某人得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币一共50张，其中2元和5元的张数一样多，那么三种人民币各有多少张？分析与答：又是三种事物，核心思想是把它转化成两种事物，怎么变，提供两种思路方法一：平均法，题中有一句关键条件：“其中2元和5元的张数一样多”，2元和5元一起看，平均每张有（2+5）÷2=3.5元，出现了小数，会做的同学可以拿小数继续做，不熟悉小数计算的同学们可以调整一下单位3.5元=35角，可以把本题的单位用角表示。本题转化为工资共2400角，有20角，50角，100角共50张，20角和50角一样多，问三种各几张？20角和50角一起看，平均每张（20+50）÷2=35角，本题相当于有35角和100角的人民币共50张，共2400角，那么就转化成两种事物的鸡兔同笼了。假设全是35角的，100角的数量：（2400-35×50）÷（100-35）=10（张）即