第4章控制系统的稳定性及其分析

第4章控制系统的稳定性及其分析4.1系统的稳定性4.2系统的稳定性判据4.3系统的稳定裕量4.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算4.1系统的稳定性线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它和系统的输入信号无关，仅取决于特征方程的根。系统稳定的充分和必要条件是闭环系统的特征方程的根均具有负实部。系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定。大范围内稳定是指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。小范围内稳定是指如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定，而在大范围内却不稳定。4.2系统的稳定性判据控制系统稳定的必要和充分条件是闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于[s]平面左半部，即闭环系统特征方程的根均具有负实部，则系统稳定。系统的稳定判据有解方程稳定判据，劳斯稳定判据，奈魁斯特稳定判据和对数幅相频率特性稳定判据等。1．解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）Xi(s)Xo(s)(1)ksTs图4.1系统传递框图判断如图4.1所示单位负反馈系统是否稳定。其系统闭环传递函数为2()(1)()()1(1)oikXsksTsGskXsTssksTs特征方程为20Tssk特征方程的根为1.21142TksT可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。从控制系统稳定性的判断上为什么不只用解方程稳定判据，而提出其它稳定性判据，其原因是求解三阶以上特征方程非常困难。2．劳斯稳定判据劳斯稳定判据是利用闭环系统特征方程的系数来进行稳定性判断。该判据是从稳定的必要条件和充分条件两方面来判断。（1）稳定的必要条件闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值。（2）稳定的充分条件劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号。如闭环系统的特征方程为00111asasasannnn按特征方程列写劳斯行列表3241512123312310nnnnnnnnnnsaaasaaasbbbscccss式中各项可写成行列式2321113111nnnnnnnnnnaaaaaabaaaa514121nnnnnaaaaab631711nnnnnaabaaa2131111bbaabcnn3151121bbaabcnn给定一闭环系统的特征方程为,02323ksss求当k等于何值时系统才稳定。首先进行必要条件的判断，即特征方程的各项系数均应大于零，即k0，然后再进行充分条件的判断。现列写特征方程的劳斯行列表为k6211根据劳斯阵列第一列均应为正值，则,这样由不等式可知,当时系统是稳定的。0,011cb60kkckbcsbsksso1111123333321na2na1na3na如再给定一闭环系统的特征方程为s5-2s4+2s3+4s2-11s-10=0,判断系统是否稳定，如若不稳定有多少个极点在[S]平面的右半部。首先进行必要条件的判断就没有满足，此系统不稳定。但是要知有多少个极点在[S]平面的右半部，列劳斯阵列表为s512-11s4-24-10s3b1=4b2=-160s2c1=-4c2=-10s1d1=-26s0-10na3na1na4na2na5na劳斯阵列第一列变换三次符号，即说明有三个极点在[S]平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数。由此可见劳斯稳定判据有三个功能：①可进行稳定性判断。②可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在[S]平面右半部。③可求控制系统的增益，即放大系数K。3．奈魁斯特稳定判据（简称奈氏判据）奈氏判据是按开环传递函数的幅相频率特性（奈氏图或称极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。如何判断要根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。（1）开环状态下是稳定的（即是开环传递函数特征方程在[S]平面右半部无极点，即m=0。一般习惯上把开环系统积分环节的零根作为左根处理），闭环状态下稳定的充分和必要条件是：开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线不包围[S]平面上的（-1，jo）点。（2）开环状态下是不稳定的（其开环传递函数的特征方程在[S]平面右半部有m个极点）闭环状态下稳定的充分和必要条件是：当从-到+时，开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线逆时针方向包围（-1，jo）点m周。如果从0到时，开环幅相频率特性曲线应逆时针方向包围（-1，jo）点应为周。2m图4.2(a)和(b)分别是在开环下稳定和不稳定的状态下，而取值为0到，判断其系统是否稳定，经判断两系统均稳定。ω=0Reω=+∞ImImωω=0ω（-1，j0）(a)m=0Reω=+∞（-1，j0）[s][s](b)m=2图4.2开环幅相频率特性曲线4．对数幅相频率特性稳定判据该判据是按开环传递函数的对数幅相频率特性（波德图）来判断闭环系统是否稳定。如何进行判断也要根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。（1）开环状态下是稳定的（开环传递函数的特征方程在[S]平面右半部无极点，即m=0），则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在对数幅频特性的所有频率范围内，相频特性曲线在线上的正负穿越次数之差为零。(由线下方向上穿越为正穿越，由线上方向下穿越为负穿越)。0)(L)(某一系统的波德图如图4.3所示，该系统m=0，从图中可见正负穿越各一次，则系统稳定。图4.3开环对数幅相频率特性曲线L(ω)-180o0ωω(+)(-))(（2）开环状态下不稳定（其开环传递函数特征方程有m个根在[S]平面的右半部），则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在所有的所有频率范围内，相频特性曲线在线上的正负穿越次数之差为。0)(L)(2m两系统的波德图如图4.4的（a）和(b)所示。当m=2时，判断系统是否稳定。图（a）正负穿越次数之差为-1，所以系统不稳定。图（b）正负穿越次数之差为+1，所以系统稳定。(-)(+)(-)(+)(+)ω(b)m=2(a)m=2ω(-)-180oωω00-180oL(ω)L(ω))()(图4.4开环对数幅相频率特性曲线4.3系统的稳定裕量设置系统稳定裕量的原因有五个方面：①系统数学模型的简化，造成与实际系统有一定的误差。②非线性系统的线性化。③系统有关元件参数近似获得或实验获得，会存在一定误差。④系统工作时元器件性能及参数有可能发生变化。⑤难以预料的外部干扰。稳定裕量是用来衡量一个稳定的系统距离不稳定的程度。不同的稳定判断，对稳定裕量的表述也不一样。1．奈氏稳定判据的稳定裕量根据奈氏稳定判据，对于开环稳定的系统（m=0），闭环系统稳定充分和必要条件是幅相频率特性（奈氏图）不包围（-1,jo）点。稳定裕量则是衡量幅相频率特性曲线距离（-1,jo）点的远近程度，距离越远稳定裕量越大。图4.5表示了稳定及稳定裕量等有关参数的相关关系。单位圆γReω=∞(-1,j0)ωpIm()cω=01pK图4.5开环系统幅相频率特性曲线c衡量系统稳定程度即稳定裕量有两个指标：（1）幅值裕量（也称增益裕量或幅值储备），可用来表示。它等于开环相角时开环幅值的倒数，即。应该说是在相位交界频率下，值越大幅值裕量越小。从图4.5中可以看到，离原点越近，也就是离点越远幅值裕量就越大。pko180)(1ppjGkp)()(ppjGAp),1(jo（2）相位裕量（也称相角裕量或相位储备），可用表示。它是指开环频率特性的幅值时，它的相角与1800之间的差值，即。或者说，相位裕量是向量与负实轴的夹角。是开环频率特性的幅值等于1时的频率，即增益交界频率（剪切频率）。若角越小，则相位裕量越大。1cGj)(180co)(cjGc)(c2．对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量根据对数幅相频率特性稳定判据，对于开环稳定的系统（m=0），闭环稳定充分和必要条件是：在对数幅频特性的所有频率范围内,相频特性曲线在-线上的正负穿越次数之差为零。如若在此条件下无穿越，如图4.6所示，则系统也为稳定。0)(L()ωρω(+)ωc-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec0ω(+)γ-180o-90o0o()L()图4.6对数幅相频率特性曲线若根据对数幅相频率特性判断其系统的稳定裕量。()20lg20lg()pppLkGj20lg()pGjpk定义为负值时（），增益裕量为正。当增大，则幅值裕量增加。()pL当增益裕量以分贝表示时，如果，则增益裕量定为正值，当,增量裕量定为负值，正增益裕量说明系统稳定。对于稳定的最小相位系统（即是系统的开环传递函数在[s]平面的右半部没有零点、极点的系统）而言，正增益裕量指出了系统在变成不稳定的系统时，增益可增加多少。对于不稳定的系统而言，负增益裕量指出了若使系统稳定，增益应减少多少。1pk1pk例试确定如图4.7所示的单位负反馈系统的稳定条件,即K值的取值范围。并试求当K=10和K=100时，对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。Xo(s)Xi(s)K(1)(5)sss图4.7系统传递框图如若确定K值的取值范围,就要用劳斯稳定判据。判断此系统的稳定性,就要求此系统的闭环传递函数的特征方程,而后再确定令系统稳定的K值的取值范围。系统的闭环传递函数为：32K()(1)(5)KG(s)=K()65K1(1)(5)oiXssssXsssssss闭环系统的特征方程为3265K=0sss劳斯阵列为3s2s1s0s161bKK5115130K6K66b10b0K当0K30时系统稳定。下面按题目要求,求对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。当K=10时，开环传递函数为11022W(s)=(1)(5)(1)(0.21)(1)(1)ssssssssTs系统由四个典型环节组成（1）比例环节1()2Gsk120lg()20lg26.02GjdB01()0（2）积分环节21()Gss211()Gjjjlg201lg20lg20)(lg20222meIRjG当时，,则为增益交界频率10)(lg202jGc111021()900meItgtgR（3）惯性环节31()1Gss此环节时间常数则转角频率（交点频率）TT1131T32211()111Gjjj3222111120lg()=20lg20lg11TGjT当时，,可将视为波德图渐近线的转角频率。12120lg31dB1当时，11110m33eI()()()45RGjtgtgTtg（4）惯性环节41()1GsTs此环节时间常数,即转角频率410.2TT5T频率响应4222211()111TGjjjTTT4221==51120lg()20lg=20lg3111TGjdBT10144()()()45TGjtgT-20dB/decω0o-45o-90o-180o-270oγ'=-30oγ=24.6oW(s)ω'ρω51100.130404626200610-60dB/dec-40dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-20dB/dec-20dB/dec-12dBW1(s)G2(s)G1(s)ωcG'1(s)W2(s)G3(s)1()2()3()4()()+10dBcG4(s)()L图4.8W1(s)和W2(s)