第4章数字特征与特征函数

第4章数字特征与特征函数§4－1数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义:设X为一离散型随机变量,它的概率分布为如果级数绝对收敛,(即),则称为随机变量X的数学期望,记为E(X)或EX,即例:设随机变量X服从参数为p的（0—1）分布，即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q，试求X的数学期望。解:X的分布列为E(X)=0*P(X=0)+1*P(X=1)=0*q+1*p=p(),1,2,iiPXxpi1iiixp1iiixp1iiixp1()iiiEXxpqpX)(ixXP01x12x例:某城市流行一种疾病,患者约占10%,对全城居民验血,现有两种方案:①逐个化验;②将四个人的血样合为一组,混合化验,如果合格,则只需化验一次,如发现有问题,则需对此组四人再逐个复查,共化验5次。比较两种方案,何种为优?解:任取四人,第一种方案需化验四次;设第二种方案需化验的次数为X,则X为离散型随机变量,分布列为所以第二种方案为优。X15Pi0.941-0.9444()10.9510.92.4EX（）二、连续型随机变量的数学期望设X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量,若积分绝对收敛(即),则称它为X的数学期望(或均值),记为E(X)或EX,即例:设随机变量X服从正态分布试求E(X)。解:X的分布密度为()()EXxfxdx2(,),Na()xfxdx()xfxdx22222222()2()()22221()211()()221()()22xaxaxattfxeEXxfxdxxedxxedxxataEXtaedtedta令例:设随机变量X服从P－Ⅲ型分布,求E(X)。解:X的分布密度为00101001000)(100)(10)()()()()()()()()(,)()()()()()()(000aadtetadtetdtetatXEtaxdxeaxxdxxxfXEaxeaxxftttaxaax令例:有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个的寿命服从同一指数分布,其概率密度为只要有一个电子装置损坏,整机就不能工作,求整机寿命Y的数学期望。解:先求Y的密度函数,显然,Y的取值应为5个装置中寿命最短的一个。因此有,Y=min(X1,X2,…,X5),Y的分布函数为从而Y的密度函数为于是Y的数学期望为(1,2,3,4,5)kXk0,()00,xxefxx5501,()1[1()]00,yYXyeFyFyy05,()00,yYyefyy01()()55yYEYyfydyyedy例:随机变量X服从柯西分布,其分布密度为求E(X)。解:所以X的数学期望不存在。21(),(1)fxxx22020112(1)(1)1ln(1)xdxxdxxxx三、随机变量函数的数学期望定理:设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数),当X是离散型随机变量时,若当X是连续型随机变量时,若其中,f(x)是X的密度函数。例:对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区间[a,b]上,试求球的体积的数学期望。解:设用X表示测量得的球直径,它是一个随机变量,其密度为以Y表示球的体积,则,故1()iiigxp绝对收敛，则1()()()iiiEYEgXgxp(),1,2,iipPXxiX其中，是的概率分布。()()gxfxdx绝对收敛，则()()()EYgxfxdx1,()0,axbfxba其他36YX33221()()66()()24baEYxfxdxxdxbaabab推广:X1,X2,…,Xn为n元随机变量,联合密度为,则例:设服从二元正态分布,其密度函数为试求随机变量的数学期望。解:12(,,,)nfxxx12(,,,),nYgXXX121212()(,,,)(,,,)nnnEYgxxxfxxxdxdxdx2221(,),,2xyfxyexy22ZXY222222222222222220001()212cos,sin,1()22xyxyrrEZxyedxdyxyedxdyxryrJrEZredrdredr令变化的雅可比，于是四、数学期望的性质①E(c)=c②E(cX)=cE(X)③推广:④设X与Y相互独立,则推广:n个相互独立的随机变量()EXYEXEY（）（）,)(,)()()(,)(,)(,)()()XYXYfxyEXYxyfxydxdyxfxydxdyyfxydxdyxfxdxyfydy设(的联合密度为证:11221122()()()()nnnnEcXcXcXcEXcEXcEX()()()EXYEXEY(,)(,)()(,)()()()()()()XYXYXYfxyEXYxyfxydxdyxyfxfydxdyxfxdxyfydyEXEY设的联合密度证为:1212()()()()nnEXXXEXEXEX例:一民航机场的送客班车载有20位旅客,自机场开出,沿途有10个车站,如到达一个车站没有旅客下车,就不停车,以X表示停车次数,求E(X)。(设每个旅客在各个车站下车是等可能的)。解:设10个车站依次为1,…,10,Xi表示在第i站停车次数。1,0,iiXi第站有旅客下车，第站没有旅客下车。1210XXXX则1210()0.878108.78EXEXXX（）10iXiP20)109(20)109(1202099()0()11()0.8781010iEX五、众数和中位数众数:离散型随机变量:P(X=xi)达到最大时的xi。连续型随机变量:f(x)达到最大时的x。中位数:满足的x值。1()2Fx§4－2方差一、定义设X为一离散型随机变量,若存在,则称它为X的方差,记为D(X)或DX。称为X的均方差。离散型:连续型:例:设随机变量X服从参数为p的(0-1)分布,试求X的方差D(X)。解:例:设随机变量X服从正态分布,求X的方差。解:2[()]EXEXDX21()[()]iiiDXxEXp2()[()]()DXxEXfxdx222(),()[()](1)(0)(1)EXpDXEXEXppppqp已知则222222()22222222221()()2,()2()2xattttDXxaedxxatDXtedttedtteedt令其中由分部积分法,有二、方差的性质①D(c)=0②D(cX)=c2D(X)③其中若设X与Y相互独立,则④⑤(a为任意实数)例:设,试求D(X)。解:例:设随机变量X服从[a,b]均匀分布,求D(X)。解:()()()2(,)DXYDXDYCovXY(,)(())(())CovXYEXEXYEY()()()DXYDXDY22()()[()]DXEXEX2()[()]DXEXa~(,)XBnp121212,,(0,1)()()()()(),1,2,()nnniXXXXXXXpDXDXDXDXDXpqinDXnpq由于,其中相互独立,且都服从参数为的分布,因此,又从而22222222221()()23()()()[()]()3212baabbabaEXEXxdxbababaabbaDXEXEX已知,且于是三、车贝雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)和方差D(X),则对任意ε0,有。证明:车贝雪夫不等式的另外一种形式例如,对于利用车贝雪夫不等式估算,有而实际上由第二章可知,对正态分布,恒有2()()DXPXEX（）22εε222[()](())()()11[()]()()xEXxEXxEXPXEXfxdxfxdxxEXfxdxDX2()(())1DXPXEX228(3)10.888999PXa－(3)0.9973PXa),(~2aNX四、标准化随机变量设随机变量X的数学期望为E(X),均方差为σ,则称为标准化随机变量。上述这种形式又称标准化变换。()XEX()0()1ED，§4－3离势系数、偏态系数、峰度系数、矩一、离势系数方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度,但由于变量本身量级不同,只比较方差或均方差的大小不合适,因此引入下列指标:二、偏态系数描述分布的不对称程度:三、峰度系数刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。正态分布的CE恒为零。四、矩称vk=E(Xk)k=1,2,…为X的k阶原点矩。称μk=E[X-E(X)]kk=1,2,…为X的k阶中心矩。所以,E(X)=v1,D(X)=μ2()vCEX33[()]EXEXCs44[()]3EEXEXC§4－4多元随机变量的数字特征一、数学期望与条件期望定义:设(X1,X2,…,Xn)为n元随机变量,则[E(X1),E(X2),…,E(Xn)]称为n元随机变量(X1,X2,…,Xn)的数学期望。其中E(Xi)是分量Xi的边际数学期望。定义:设(X,Y)为具有密度f(x,y)的二元连续型随机变量,则下列积分为X=x下Y的条件数学期望,简称条件期望,记为显然m2(x)是x的函数。称方程为Y依X的回归方程。它在xoy平面内的图像称为Y依X的回归曲线。同理可定义Y=y条件下X的条件期望。注意:一般与不互为反函数,或者说两条回归曲线一般不重合。1,()(),ijjjiXxpEXxfxdx离散型连续型2()()()EYXxyfyxdymx()()xEYXxEYxy或或2()xymx1()yxmy2()xymx1(|)(|)()EXYyxfxydymy推广:(X1,X2,…,Xn)为n元随机变量,Xi的条件密度为则注意:①当随机变量相互独立时,条件期望等于边际期望。②是随机变量X的函数,它是随机变量,且证明:例:试求二元正态分布的数学期望和条件期望。解:[()]()()[()]()[(,)]()()XXYEEYXEYxfxdxyfyxdyfxdxyfxydxdyyfydyEY111(,,,,,)iiiinfxxxxx111111111(,,,,,)(,,,,,)iiiiinniiiiiniEXXxXxXxXxxfxxxxxdx()EYX[()]()EEYXEY22122212()()22122221222212211222212111()()2211(|)exp{[()]}2(1)2111(|)exp{[()]}2(1)21(,)xayaXYYXfxefyefyxyaxafxyxaXyaXY二元正态分布的边际分