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2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 第三讲 数阵图 数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往小孩子喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。所以，一般是先用公式法分析出关键数字，再用尝试法进行试填。 本讲包括辐射型数阵图，封闭型数阵图，复合型数阵图，其他类型数阵图。 一、辐射型数阵图 方法一：尝试法：在给的是一个等差数列，并且是每条线上是奇数个数时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。 （这个规律需要用数论的知识证明，低年级牢记会用即可。也可以这样理解：去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每对和相等，因此最中间数只能填最大数，最小数或中间数） 方法二：公式法：线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数 重叠次数=线数‐1 希望孩子们从现在起尽量练习公式法，其一：为孩子顺利接受方程做铺垫；其二：有些复杂题尝试的方法头绪繁多，有可能会走很多弯路。更多的时候是两大方法灵活的结合使用。一般是先用公式法分析出关键数字，在用尝试法进行试填。 下面通过一个简单的例题来说明一下。 例5：（2008年第八届“春雷杯”小学数学邀请赛）将1~11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上的三个圆圈内的数的和都等于18。 分析与答： 方法一：（尝试法）根据规律，最中间数只能填最大数11，最小数1或中间数6，（因为去掉中间数时剩下的数应该两两一对，分成5对，每对和相等，因此最中间数只能填最大数11，最小数1或中间数6） 因此本题有三种填法，再结合“使每条线段上的三个圆圈内的数的和都等于18”这个条件，只有中间数为6时满足题意。（这是孩子们通常最喜欢用的方法。） 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 方法二：（公式法）线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数 （重叠次数=线数‐1） 对于本题，线和（已知）=18，线数=5，数字和=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，重叠数为中间数，重叠次数（即多算次数）为5‐1=4（因为中间数在数字和里算过一次。这样就可以计算出中间数的值： 等号左边：5×18=90 数字和：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66 90‐66=24 中间数为24÷（5‐1）=6，即“真相只有一个” 二、封闭型数阵图 通用公式：线和×线数=数字和+重叠数之和 下面通过以下例题说明一下公式的用法。 超常班学案2：把1~9这9个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4个圆内数之和都是23. 分析与答：线和×线数=数字和+重叠数之和 线和（已知）=23，线数为3，数字和=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，可求得重叠数之和A+B+C=69‐45=24，24=7+8+9，本题三个顶点处的填法唯一，a+b=23‐7‐8=8,c+d=23‐8‐9=6,e+f=23‐7‐9=7将6,7,8分拆，存在以下两种分法，因此本题有两种情况。如下图： 6=1+5,7=3+4,8=2+6 6=2+4,7=1+6,8=3+5 3964852107111CAB97fedc8ab9716428359734518262011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 例3：将1~6填入左下图的6个圆中，使三角形每条边上的三个数之和都等于K，请指出K的取值范围。 分析与答：这道题和刚才题目的不同之处在于，这道题没有给出线和（即K），让同学们自己判断k值。 线和×线数=数字和+重叠数之和 线和为K，线数为3条，数字和为1+2+3+4+5+6=21，重叠数之和为A+B+C，列式如下： 3K=21+A+B+C 数阵图的好多题都要结合数论中余数（或整除）的知识进行分析。 3K为3的倍数，21为3的倍数，那么A+B+C只能也是3的倍数，而 6=1+2+3≤A+B+C≤4+5+6=15,因此A+B+C=6、9、12、15。 因此这道题需要分四种情况讨论： 3K=21+A+B+C Ⅰ当A+B+C=6时，K=9； Ⅱ当A+B+C=9时，K=10； Ⅲ当A+B+C=12时，K=11； Ⅳ当A+B+C=15时，K=12 附：本题至此已经做完，如果增加一问，各给出一种填法，继续解答如下： Ⅰ当A+B+C=6，K=9时，由于6=1 +2+3因此只有一种填法： Ⅱ当A+B+C=9，K=10时，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，只有1+3+5存在满足题意的填法。 Ⅲ当A+B+C=12，K=11时，12=1+5+6=2+4+6=3+4+5，只有2+4+6存在满足题意的填法。 241653345 ABC2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 Ⅳ当A+B+C=15，K=12时，12=4+5+6因此只有一种填法： 451632 综上，本题存在4种填法。 例2：把1、2、3、4、5、6、7、8八个数字填入下图中的圆内，使正方形每条边上的三个数之和都等于13。 分析与答：线和×线数=数字和+重叠数之和 13×4=（1+2+3+4+5+6+7+8）+ A+B+C+D A+B+C+D=16 从1~8中选四个数和为16，将16分拆，有如下7种方法： 16=1+2+5+8=1+2+6+7=1+3+4+8=1+3+5+7=1+4+5+6=2+3+4+7=2+3+5+6 这四数之中如果有任意3数之和与线和13相等的话，就必然会产生重复数字：例如1+3+4+8中1+4+8=13 这7种中首先可以排除掉4种： 1+3+4+8=1+3+5+7=2+3+4+7=2+3+5+6 （只要有16‐13=3的就都排除就可以了） 16=1+2+5+8=1+2+6+7=1+4+5+6，经试验，1+2+6+7找不到合适的填法。 小结：对于稍复杂的数阵图，不要拿到题目就开始试填，一定要先用数学知识分析题目，找到突破口，（本题是4个顶点的数字和为16），这样还有一个好处就是可以按一定顺序把所有情况都想到。 例7：1~9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形的三条边的每五个数相加和相等，想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？ 分析与答：拿到本题孩子们可能有点毫无头绪仔细观察就会发现这个图就是一个封闭型数阵图。 最上方两个、左下角两个、右下角两个三角形在算和的时候始终都作为一个整体。那么就暂时先把他们当做一ABCD184482011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 个整体，记为A、B、C A、B、C在顶点处，各算两次；a,b,c在边上，各算一次；最终的目标是使每条边上的五个数的和尽可能大，那么应该让A、B、C较大；a,b,c取最小的数1,2,3。 用公式理解：设线和为K 线和×线数=数字和+重叠数之和 3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+A+B+C 想让K大，A+B+C尽量大，a,b,c尽量小，即取最小的数1,2,3。此时A+B+C=4+5+6+7+8+9=45‐6=39，即3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+39=84， K=28（这一步很关键，是后面凑数的方向） 此时数感较好的孩子经过几次尝试调配之后已经可以凑出结果了（可用大配小原则） 还可以用以下方法解答： A+B=28‐2=26 ① A+C=28‐3=25 ② B+C=28‐1=27 ③ 虽是三元一次方程组，可是轮换式的方程组可转化成和差问题 ①‐ ②，得B‐C=1 B+C=27 B=14，C=13，A=12 12 =4+8，13=6+7 ，14=5+9 12=5+7 ，13=4+9 ，14=6+8 得到本题的两个解，当然，每组两个数位置可交换，旋转或翻转得到的就算一种。 【附：轮换式方程的通用解法： A+B=28‐2=26 ① A+C=28‐3=25 ② B+C=28‐1=27 ③ ①+②+③，2（A+B+C）=25+26+27=78 ，则A+B+C=39 ④ ④‐①，C=13 ④‐②，B=14 ④‐③，A=12】 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 三、复合型数阵图 综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。 例4：下图中有三个正三角形，将1~9填入它们顶点处9个圆中，要求： （1）每个正三角形顶点的三数之和都相等； （2）通过四个圆的每条直线的四数之和也相等。 分析与答：本题有2点要求 对于第1点要求，可求出每个正三角形顶点的三数之和都为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=15，即A+B+C=15， 再结合第二点要求，设通过四个圆的每条直线的四数之和为K，再结合第二点要求， 线和×线数=数字和+重叠数之和 重叠数之和为A+B+C=15 3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+15 可求出K=20 本题转化为：将1~9填入它们顶点处9个圆中，要求： （1）每个正三角形顶点的三数之和都为15； （2）通过四个圆的每条直线的四数之和也相等20。 第一个条件相当于将,1~9这九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15，只有如下两种分法： （1）15 =1+5+9=2+6+7=3+4+8 （2）15 =1+6+8=2+4+9=3+5+7 结合“通过四个圆的每条直线的四数之和也相等20”这个条件 对于第一种情况，只有A、B、C分别取1、5、9时可以找到满足题意的填法； 对于第二种情况，只有A、B、C分别取3、5、7时可以找到满足题意的填法。 ３９７68１２４５ １７９４８３２６５ ＣBA2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 例8：能否将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点的数之和相等？ 分析与答：复杂问题，千万不能上来就试，这样可能会绕很多弯路，仔细观察就会发现： 全部数字之和=中间数+3个阴影三角形数字和 （如下图所示）因此，设每个阴影三角形的3个顶点的数字和为K，得 +1+2+3+4+5+6+7+8+9=中间数+3K 即 45=中间数+3K 中间数为3的倍数，只能是0、3、6、9， 45=中间数+3K Ⅰ当中间数为0时，K=15 Ⅱ当中间数为3时，K=14 Ⅲ当中间数为6时，K=13 Ⅳ当中间数为9时，K=12 Ⅰ当中间数为0时，K=15 A+B=C+D=E+F=15，而15=6+9=7+8 必然会出现重复数字，因此没有合适填法； Ⅱ当中间数为3时，K=14 A+B=C+D=E+F=14，而14=2+9=4+7=5+6（3已经为中间数） 经试验，即可得到 Ⅲ当中间数为6时，K=13 A+B=C+D=E+F=7，而7=0+7=2+5=3+4（3已经为中间数） 经试验，即可得到 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 Ⅳ当中间数为9时，K=12 A+B=C+D=E+F=12‐9