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2011年春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 第六讲 倒推与图示 本讲的例1~例5是还原问题，例6~例8是列方程解应用题。方程工具我们会在本学期第10讲系统学习。本讲列方程解应用题只需体会一下即可。 （一）还原问题 还原问题侧重对孩子们逆向思考能力的培养，高年级的杯赛中有时也会出现还原问题。 还原问题：已知步骤和结果，要求判断最初的状态。 方法思路：倒推（每一步都是逆运算） 展现形式：图示 单个变量的还原问题：1、画线段图 2、画框 多个变量的还原问题：列表 一、单个变量的还原问题 主要是复习画图和画框两大方法 例1有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝。这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒增加一倍，然后喝下去8两酒。这天他共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒，葫芦里的酒刚好喝完。问：原来有多少酒？ 分析与答：复习画框法（明确流程时常用此方法） 顺序画好框图，逆着往回填，每一步都是逆运算。 例1巩固练习 一捆电线，第一天用去全长的一半多5米，第二天用去余下的一半少8米，第三天用去14米，最后还剩10米，求这捆电线原长。 分析与答：复习画线段图的方法（和一半比较时常用此方法） 多5米 第一天用去全长的一半多5米 第一天余下 2011年春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 少8米 第二天用去余下的一半少8米 第二天余下 第3天用去14米 还剩10米 列式：图三：14+10=24（米） 图二：（24－8）×2=32（米） 图一：（32+5）×2=74（米） 顺序画图，倒序列式。另外用此法时建议不在一个图上画，以免过于凌乱看不清楚，可以把不变量对齐在下方另画。 本题也可用画框法，但注意多5米，及少8米的符号。 二、多个变量的还原问题 （1）基本型 两个量： 例2 甲乙两个油桶各装了15千克油，售货员卖了14千克，后来，⑴售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使乙桶油增加一倍；然后⑵又从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍，问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？ 分析与答：最终共有油15×2‐14=16（千克）甲是乙的3倍，则 乙有16÷（3+1）=4（千克），甲有12千克。 做本类题目时可以适当在题目中标注⑴⑵⑶等，由结果逆推⑶⑵⑴之前的状态。 甲 乙 最终 12 4 （2）之前的状态 12÷2=6（增加1倍，注意是原来的两倍）16‐6=10（两人和不变，为12+4=16） （1）之前 16‐5=11 10÷2=5 甲卖了15‐11=4千克，乙卖了15‐5=10千克。 附：画表格时可以顺向，也可以逆向。但后面有类周期问题（例5）在发现规律找到周期前不确定行数，所以逆向相对较好，故为统一，本讲的表格都采用逆序。 三个量： 2011年春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 超常123班学案4 甲乙丙三人的钱数各不相同，⑴甲最多，他拿出一些钱给已和丙，使已和丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着⑵乙拿出一些钱给甲和丙，使甲丙的钱数各增加2倍，结果丙的钱数最多；最后⑶丙又拿出一些钱分给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，结果三人的钱数一样多。如果他们三人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？ 分析与答： 甲 乙 丙 最终 81÷3=27 81÷3=27 81÷3=27 （3）之前 27÷3=9（注意增2倍，是原来的3倍） 27÷3=9 81‐9‐9=63(和不变，为81) （2）之前 9÷3=3 81‐21‐3=57 63÷3=21 （1）之前 81‐19‐7=55 57÷3=19 21÷3=7 一道小综合题： 超常123班学案2 有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了，哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥哥那抢过一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少2块，从弟弟那拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块，问最初弟弟准备搬多少块？ 分析与答： 一、最终三人各有几块？（和差问题） 有18块砖，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块 最后哥哥搬18÷3=6（块），弟弟6‐3=3（块），爸爸6+3=9（块） 二、爸爸来之前，哥哥弟弟各有几块？（单个变量的还原问题，可用画图法） 爸爸从哥哥那拿走一半少2块，从弟弟那拿走一半多2块， 哥哥：（6‐2）×2=8（块） 弟弟：18‐8=10（块）或（3+2）×2=10（块） 三、最初哥哥弟弟各几块？（多个变量的还原问题，可用列表法） ⑴哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半，⑵弟弟不肯，又从哥哥那抢过一半， 哥哥 弟弟 结果 8 10 （2） 8×2=16(哥哥被抢走一半还剩8，那么之前应8×2 18‐16=2（和不变，为18块） （1） 18‐4=14 2×2=4 总结：本题是一道综合题，综合考察了和差问题；画图法解单个变量的还原问题；列表法解多个变量的还原问题。相当于三个板块的基础知识点的融合，单独拿出来都很简单，但放到一块很多孩子就没有头绪。我们等到高年级会做很多综合型的题目，都是各个板块知识点的综合。包括中考高考也是如此。所以，对孩子们提出两点建议：其一：加强基础，弄清每个模块的基础题型，如果每个模块都很熟练，综合起来才会理清2011年春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 整道题的思路；反之，如果每个模块都模棱两可，那么再一综合就彻底晕菜了。其二：适当接触一些综合题，见多才能识广。 （2）周期型： 例4 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐。最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给老小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平分给另外两个和尚。就这样，三人轮流谦让一阵，结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐里有20升水。请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？ 分析与答： （1）体会本题和刚才题目的不同之处，刚才的题目次数是明确的，而本题中只说分了一阵，没说具体次数，那么这类题目过程很可能是循环的。显然本题中给了分水的顺序是老——大——小，3为周期。即使不用这个条件，本题任然可做。 （2）注意两个关键词：全部，平分。每次都是某和尚把自己的水全部平分给另外两个和尚。全部说明每次分完一定有一个人水量为0，平分说明这个人给另外两人分的量是一样的。 最后老小和尚有水，那么最后一次是大和尚分的水。 利用本题中给的分水的顺序是老——大——小这个条件。 老和尚 大和尚 小和尚 大和尚分水后 10（全部来自于大和尚） 0 20 老和尚分水后 0（先判断此处：老和尚刚分完为0） 20（再判断此处：由于下一步轮到大和尚分水，老和尚分得10，那小和尚也一定分得10，大和尚原有20）10（最后判断此处：可以用三人总水量不变为30,30‐20=10） （注：可判断10全部来自于老和尚） 小和尚分水后 20（再判断此处：由于下一步轮到老和尚分水，小和尚分得10，那大和尚也一定分得10，老和尚原有20）10（最后判断此处：可以用三人总水量不变为30,30‐20=10） 0（先判断此处：小和尚刚分完为0） 大和尚分水后 10 0 20 …… …… …… …… 最初是老和尚最多：即小和尚分水后，即应为老和尚20，大和尚10，小和尚0的状态。所以最初大和尚10升水。 附：本题不用给的分水的顺序是老——大——小这个条件也可做。这个条件的在刚才的解法中的作用是判断每一步到底谁为0。还可以用以下方法判断： 2011年春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 老和尚 大和尚 小和尚 大和尚分之后 10 0 20 可能是小和尚分么？ 判断出不行 只能是老和尚分后 说明下一步（即上一行）大给小20，那么大也得给老20，则大有40，一共只有30，矛盾，说明此步不可能时是小和尚分，只能是老分 0（假设这是0，看看是否可行） 以下的分析方法类似，仍可推出如图表格： 老和尚 大和尚 小和尚 大和尚分水后 10 0 20 老和尚分水后 0 20 10 小和尚分水后 20 10 0 大和尚分水后 10 0 20 …… …… …… …… （3）过程不确定型（有多种情况或需要判断筛选出符合条件的过程）： 超常班学案2 甲乙有糖若干块，每操作一次都是由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。经过3次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖。两个人原来的糖数分别为多少？ 分析与答：体会本题与刚才题目的不同之处，刚才题目明确告诉分法；而本题每操作一次都是由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。存在两种情况：（1）甲→乙，使乙×2； （2）乙→甲，使甲×2。 每一步需要自己判断。 甲 乙 附注 最终 5 12 倒数1次分之前： 17‐6=11（和不变，为17） 12÷2=6 可能是乙→甲，使甲×2么？显然不行，5÷2不是整数，只能甲→乙，使乙×2 倒数2次分之前： 17‐3=14 6÷2=3 可能是乙→甲，使甲×2么？显然不行，11÷2不是整数，只能甲→乙，使乙×2 倒数3次分之前： 14÷2=7 17‐7=10 可能是甲→乙，使乙×2么？显然不行，3÷2不是整数，只能乙→甲，使甲×2 （4）过程不确定和周期问题的综合： 变式题（超常班学案2扩展，例5铺垫） 甲和乙各有若干块糖。每次操作都是由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。经过2005次这样2011年春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖。两个人原来的糖数分别为多少？ 分析与答：比较本题和上道题的不同之处，上题求3次，而这道题求2005次，那就是依照上题的思路，继续往前推，直至发现规律找到周期为止。 周期为8 2005÷8=250……5 商250代表经过250个循环，余5说明和操作五次的效果相同，应为甲6，乙11。 在此强调一下多个变量的还原问题的易错点：次数少时还好，次数多时容易错，即有些孩子把最终的结果也算成一步了。所以一定要标好序号。 例5 甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少。每次操作都是由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。经过2005次这样的操作后，甲有10块糖，乙有8块糖。两个人原来的糖数分别为多少？ 分析与答：乍一看这道题和上题木有太大区别，只不过换了个数而已。其实推几步就会发现还是不一样的，进而发现问题本质的不同。上道题虽说也有两种情况，但经过分析思考后马上就可以排除掉一种。这是因为刚才题目中共有17块糖（奇数），那么两人的糖数一定一奇一偶，只能是那个偶数是×2得来的，所以每一步都只有一种符合条件的方法答案。而本题两人糖数和为18是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶，全为奇。而这正是本题的难点。具体举例来说：（暂时先忽略甲的糖数比乙少这个条件） （1）把原题2005次改为1次，其他条件和结论不变：即 1、甲→乙，使乙×2； 2、乙→甲，使甲×2。 经过1次这样的操作后