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2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 第十二讲 平均数 平均数问题是应用题模块的重点之一。在学完方程之后，解决应用题时，我的建议是每道题目都想一下它的算术解法和方程解法。体会算术和方程的练习和区别。对于孩子们而言，较简单的题目，用算术方法可以很快得到答案，用方程方法解题时间相对较长；而对于复杂的题目，方程却更为直观。 本讲上课时有一点感触很深：因为本讲计算量偏大，有些题目出现小数孩子们不太会算。数学的基础是计算，而我们超常班现在所需要的计算能力远高于学校接触到得水平，因此，希望在课下多下功夫，多练计算。首先，决不能让计算成为限制我们数学解题能力的瓶颈，其次，计算好的孩子确实会有一种优越性和自信。因此，希望每天抽十分钟左右的时间练习计算，厚积薄发，坚持一段时间后一定会有明显的效果。目前可以练习一些大数乘除法，以及解一元一次方程。也可接触一下简单的小数乘除计算。两个目的：熟练、准确。 基本公式：平均数=总数÷总份数 总数=平均数×总份数 算术方法解题： 例1：某人驾驶一辆小轿车要作32000千米的长途旅行（路面相同），车上装着四只轮胎，只带了一只备用胎，为使五只轮胎的磨损程度相同，司机有规律的把五只轮胎轮换使用，到达终点时每只轮胎行多少千米？ 分析与答：平均数=总数÷总份数，总份数显然为5只轮胎，关键总量易错，小轿车走了32000千米，每只轮胎都走了32000千米，具体到轮胎，总数应为32000×4=128000千米。因此，平均每只轮胎走128000÷5=25600千米。 超常123学案1：某商场10组空调，后来又增加2组，这12组室内空调机全部打开时就会超过负荷断电。因此最多使用10台。在24小时内平均每组室内空调机最多使用多少小时？ 分析与答：与上题类似：24×10÷12=20（小时） 列方程解题： 例7：蓉蓉家有5口人，爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、蓉蓉。今年爷爷75岁，奶奶比五个人的平均年龄大26岁，爸爸34岁，妈妈比五个人的平均年龄小13岁，蓉蓉比妈妈小21岁。求，蓉蓉出生时爸爸多少岁？ 分析与答：已知的年龄：爷爷75岁，爸爸34岁。 未知的年龄：奶奶比平均大26岁，妈妈比平均小13岁，都和平均比，因此设平均年龄为X，奶奶（X+26）岁，妈妈（X‐13）岁，蓉蓉比妈妈小21岁，比平均小21+13=34岁，蓉蓉（X‐34）岁。列方程： 75+（X+26）+34+（X‐13）+（X‐34）=5X X=44 蓉蓉今年44‐34=10岁 蓉蓉出生时爸爸34‐10=24岁 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 移多补少求平均数： 与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。 补充几个小题： （1）19，22,23,18,17,A。平均数是20。求A=？ 分析与答：与平均数20相比， 19 22 23 18 17 A=20+1=21 少1 多2 多3 少2 少3 应多1 （2）27,14,22,15,24,17，A。平均数是20。求A=？ 分析与答：与平均数20相比， 27 14 22 15 24 17 A 多7 少6 多2 少5 多4 少3 目前已经多7+2+4=13，少6+5+3=14。而与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。因此，A应多14‐13=1，因此A=20+1=21。 （3）平均数为20，求应有几个23。 18 20 23 3个 4个 ？个 分析与答：与平均数20相比， 18 20 23 3个 4个 一个多3，因此共6÷3=2个 共少（20‐18）×3=6 不多不少不用考虑应共多6 （4）平均数为20，求应有几个23。 17 18 19 20 21 22 23 24 4个 6个 2个 2个 3个 5个 ？个 1个 分析与答：与平均数20相比， 17 18 19 20 21 22 23 24 4个 6个 2个 2个 3个 5个 ？个 1个 少3×4=12 少2×6=12 少1×2=2 不多不少 多1×3=3 多2×5=10 多1×4=4 目前共少12+12+2=26，共多3+10+4=17。而与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。因此，23应一共多26‐17=9，每个23多3，因此有9÷3=3个23。 例2：有甲乙两个车间生产零件，甲有57名工人，每人每天平均生产132个零件，乙车间每人每天生产163个零件，两个车间每人平均生产144个零件。求乙车间人数？ 分析与答：方法一：（算术方法） 人均产量人数 与平均数相比 甲 132 57 每人少生产144‐132=12个，57人共少12×57=684个 乙 163 ？ 乙应共多出684个，每人多163‐144=19个，共684÷19=36人 共 144 57+？ 与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。 甲厂：每人少生产144‐132=12个，57人共少12×57=684个。 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。 乙应共多出684个，每人多163‐144=19个，乙厂共684÷19=36人。 写成综合算式（144‐132）×57÷（163‐144）=12×57÷19=12×3=36人。 注：建议熟练后尽量写综合算式，便于观察后巧算。 方法二：（方程解法） 设乙厂X人。 人均产量 人数 总产量 甲 132 57 132×57 乙 163 X 163X 共 144 57+X 144（57+X） 列方程的等量关系是：甲总产量+乙总产量=一共总产量 32×57+163X=144（57+X） X=36 注：平均数问题列方程的依据都是如此，用总量+总量=全部总量的思路列方程，而每一个总量都是对应的平均数×数量。不熟悉是可以画表格辅助分析条件。熟练后表格可以省略。 有的孩子喜欢把方程写成这两种形式： （32×57+163X）÷144=57+X （32×57+163X）÷（57+X）=144 方程没有问题，但解方程时仍要把它化成32×57+163X=144（57+X）来解最易。因此，建议不要用除法列方程。 加权平均数的思想： 举个例子：两种糖甲乙混合成什锦糖，不同的配比应该卖不同的价钱。 甲 乙 什锦糖的单价（元每千克） 单价 5元每千克 10元每千克（总钱数÷总重量） 数量一 1千克 3千克 （5×1+10×3）÷（1+3）=8.75 数量二 3千克 1千克 （5×3+10×1）÷（3+1）=6.25 这种问题就是加权平均数，8.75,6.25都是5和10的加权平均数。1和3这些数字，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，因此，叫做权数。 无论怎样的配比，甲乙混合后的单价一定在5~10之间，并且单价更接近数量多（权值大）的那种。如： 1千克甲，3千克乙混合后8.75更接近乙的10； 而3千克甲，1千克乙混合后6.25更接近甲的5。 加权平均数的概念不要求掌握，只要孩子们能体会即可。 超常123班学案2：蓉蓉买了3斤水果糖，1斤花生糖和2斤奶糖。水果糖每斤8元，花生糖每斤7元，奶糖每斤10元。问：蓉蓉平均每斤多少钱？ 分析与答：（3×8+1×7+2×10）÷（3+1+2）=8.5元每斤。 例4：用12元／千克的甲级糖，7元／千克的乙级糖，6元／千克的丙级糖，混合成8元／千克的什锦糖。 （1）如果甲1千克，丙1千克，应放多少乙？ 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 （2）如果甲1.5千克，乙2千克，应取多少丙？ 分析与答：方法一：（算术方法） （1） 单价 数量 甲 12 1 乙 7 ？ 丙 6 1 平均 8 与平均相比 A．1千克甲多12‐8=4元、 B．1千克丙少8‐6=2元 C．与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。 D乙应共少4‐2=2元，每千克少8‐7=1元，共2÷1=2千克。乙2千克。 （2） 单价 数量 甲 12 1.5 乙 7 2 丙 6 ？ 平均 8 与平均相比 A．1千克甲多12‐8=4元，1.5千克多4×1.5=6元 B．1千克少8‐7=1元，2千克少1×2=2元 C．与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等。 D丙应共少6‐2=4元，每千克少8‐6=2元，有4÷2=2千克 方法二：（方程解法）以第2问为例，第一问类似。 单价 数量 总价 甲 12 1.5 12×1.5 乙 7 2 7×2 丙 6 X 6X 平均 8 1.5+2+X 8（1.5+2+X） 列方程的等量关系是：甲总价+乙总价+丙总价=全部总价 12×1.5+7×2+6X=8（1.5+2+X） X=2 平均数问题与和差倍问题结合： 矩形图解法：小学阶段的公式基本都是如下形式： 积=一个因数×另一个因数 其中，一旦赋予因数实际的含义，那乘积就有了实际意义，如： 一个因数表示速度，另一个表示时间，乘积就表示路程； 一个因数表示单价，另一个表示数量，乘积就表示总价； 一个因数表示平均数，另一个表示数量，乘积就表示总数； 一个因数表示长，另一个表示宽，乘积就表示面积； …… 正因为长方形面积的形式也是如此，我们可以借助长方形来形象直观的把各种公式统一起来。 例5：一次数学竞赛，甲队平均分为75分，乙队平均分为73分，两队全体同学的平均分为73.5分。又知乙队比甲队多6人，那么乙队多少人？ 分析与答：方法一：（算术解法） 甲队平均分比两队平均分高75‐73.5=1.5分，乙队平均分比两队平均分低73.5‐73=0.5分，1.5是0.5的3倍，所以乙队人数应为甲队的3倍。 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 本题转化成简单的差倍问题：乙队人数是甲队的3倍，乙队比甲队多6人。 甲队3人，乙队9人。 【附：乙队人数应为甲队的3倍有两种理解方式： 方式一：可以理解成甲队每个人多出的1.5分，都要被乙队的人“瓜分”，每人分得0.5分，因此是3个人。说明甲队的一个人和乙队的三个人对应。因此乙队人数应为甲队的3倍。 方式二：面积法（矩形图解法） 长方形面积=长×宽 总分=平均分×人数 长方形水平方向表示人数，竖直方向表示份数，则长方形的面积就表示总分。 如图所示： 长方形ABCD面积表示甲队总分； 长方形DEFG面积表示乙队总分； 长方形CEHJ面积表示两队总分； 黄色长方形表示甲队和平均比多出的分数； 绿色长方形表示乙队和平均比少的分数； 根据与平均数相比，多出的总量和缺少的总量应该相等 黄色长方形面积=绿色长方形面积 因为BI=75‐73.5=1.5，GI=73.5‐73=0.5，BI=3GI，因此HI=3JI （即长：黄是绿的3倍，那么宽：绿是黄的3倍） 即乙队人数是甲队3倍。 两种方式的本质是统一的。】 方法二：方程解法（表格略） 设甲队X人，乙队（X+6）人，两队共（2X+6）人。 根据甲队总分+乙队总分=两队总分，列方程; 75X+73（X+6）=73.5（2X+6） X=3 甲队3人，乙队3+6=9人。 超常学案4：甲班有25人，乙班有75人。两半总平均分是90分。如果甲班平均分比乙班平均分高8分，乙班平均分是多少？ 分