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2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 第十三讲 行程中的基本关系和平均速度 行程问题在小学奥数体系中的地位：我在2009年初做过一个统计，（尽可能搜罗了杯赛和小升初试题，以五六年级为主）满分按100分计算，行程占21分；总题数按10道题目计算，行程占1.8道题。由此可见学好行程的重要。本讲是行程的基础与入门，从四年级开始将系统学习行程。高年级的很多孩子有些畏惧行程问题，我觉得其中一个重要原因是基础打得不够牢固，所以希望孩子们从现在起打好基础，将来难度慢慢加深才能游刃有余。 基本公式：路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 （注意速度的单位） 基本概念的例题略。 一、平均速度 一人行程的两个考点：平均速度；变速变道。变速变道将在今后学习。 平均速度=总路程÷总时间 平均速度一般情况下不等于速度的平均数，只有当每段时间相等时二者数值才相等（如例4）。对于超常班的孩子，当路程有具体数值时孩子一般不会出错，如例2及超常班学案1，学案2；而当路程没有具体数值时有些孩子常犯的错误就是取速度的平均数，如例3，超常123班学案1，学案2。 例2：驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求驾驶员往返全程的平均速度。 分析与答：平均速度=总路程÷总时间 “往”的时间：90÷30=3（小时） “返”的时间：90÷45=2（小时） 总时间：3+2=5（小时） 总路程：90×2=180（千米） 平均速度：180÷5=36（千米/小时） 练习：超常学案2：从A到B是6千米的下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路。小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路的速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。问A到D的平均速度？ 分析与答：（6+4+4）÷（6÷6+4÷4+4÷2）=3.5（千米/小时） 例3：胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥和下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？ 分析与答：本题和上题的区别是路程没告诉具体数值。这时通常选用所有速2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 度的一个公倍数设成路程。（本题上桥和下桥所经过的路程相等，将这个路程设为24千米。）原因如下：当路程设为24千米时，上桥时间为24÷12=2小时，为整数，下桥时间为24÷24=1小时，为整数。选用所有速度的一个公倍数设成路程时，所有的时间都是整数，好算。 上桥时间为24÷12=2小时， 下桥时间为24÷24=1小时， 总时间：2+1=3小时 总路程：24×2=48千米 平均速度：48÷3=16千米/时 小结：（1）求平均速度，当路程没有具体数值时有些孩子常犯的错误就是取速度的平均数，如一些孩子开始时会求得（12+24）÷2=18； （2）公倍数的概念：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数。如：4的倍数：4,8,12,16,20,24,28，……6的倍数：6,12,18,24,30，……4和6的公倍数：12,24，……4和6的最小公倍数：12（3）求平均速度，当路程没有具体数值时，通常选取所有速度的一个公倍数设成路程。（最好是设最小公倍数） 由于最小公倍数的求法我们在五年级才回开始系统学习，因此只需找到一个公倍数就可以。最小公倍数孩子们凭数感还是找到的。两个数的乘积一定是它们的公倍数。 练习：超常123班学案1：汽车上山速度为30千米/小时，下山速度为60千米/小时，上下山路程相等，求平均速度。 分析与答：设路程为60千米， 60×2÷（60÷30+60÷60）=40千米/时 超常123班学案2（杯赛真题）：一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周，在三条边上它每分钟分别爬行11厘米，33厘米，22厘米，它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？ 分析与答：设等边三角形边长为66厘米， 总路程：66×3=198厘米， 总时间：66÷11+66÷22+66÷33=11分 平均速度：198÷11=18厘米/分钟。 例4：一辆汽车从甲地出发到300千米开外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米/时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？ 分析与答： 行程问题一个重要方法就是画图分析。 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 速度=路程÷时间；求平均速度一定找对应的路程与时间。 路程易得：300‐120=180千米 时间可用计划总时间‐已用时间来求： 计划总时间：300÷50=6（小时） 已用时间：120÷40=3（小时） 余下时间：6‐3=3（小时） 剩下路程的平均速度：180÷3=60（千米/时） 作业6：汽车往返于A、B两地，去时速度为40千米/时，要想来回平均速度为48千米/时，回来的速度应为多少？ 分析与答：本题和上题的区别仍是路程没告诉具体数值。 设A、B两地的路程为240千米（速度40和48的一个公倍数，其他亦可） 来回总时间：240×2÷48=10小时 去时时间：240÷40=6小时 回来时间：10‐6=4小时 回来速度：240÷4=60千米/时 例5（杯赛真题）：一天，红太狼和灰太狼同时从野猪林出发，到天堂镇。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑；灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如 果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到达天堂镇的是＿＿。 分析与答：溜达的速度相同，说明相同的时间它们走的路程一样； 奔跑的速度相同，说明相同的时间它们跑的路程一样。 灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑，说明没到中点就开始跑。 如图所示，AD段都溜达，时间一样； CB段都奔跑，时间一样； 只有DC段，红太狼溜达，灰太狼奔跑，灰太狼快些，因此灰太狼先到。 二、相遇与追及 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 多人行程离不开相遇与追及。任何多人复杂模型都要用到。 基本公式：路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和 速度和=路程和÷相遇时间 追及问题：路程差=速度差×追及时间 追及时间=路程差÷速度差 速度差=路程差÷追及时间 本讲例题以相遇问题为主。 （一）相遇问题： 例6：梨和桃约好见面，梨每小时走200千米，桃每小时走150千米，它们同时出发2小时后还相距500千米，则梨和桃开始时的距离是多少？ 分析与答：如图所示，（200+150）×2+500=1200千米。 注意：相距和还相距的差别，一般而言，相距有两种情况，一种是相遇前的情况，一种是相遇后的情况。 超常学案3：甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发两小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？ 分析与答：相遇时间=路程和÷速度和，速度和已知，关键是路程和。 如图所示，路程和：770‐2×41=688千米 相遇时间：688÷（45+41）=8小时 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 超常123班学案3：甲乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲到达B城需4小时，乙到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 分析与答：相遇时间=路程和÷速度和，路程和已知，关键是速度和。 甲速：360÷4=90千米/时；乙速：360÷12=30千米/时。 速度和：90+30；相遇时间：360÷（90+30）=3小时 例7：两列火车相距100英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时50英里。火车A前端有一只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向火车B，遇到火车B以后，立即回头以同样的速度飞向火车A。遇到火车A后，又回头飞向火车B，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止。假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？ 分析与答：本题乍一看孩子会觉得难，是因为孩子的思维局限在局部，进入了这样一个误区，就是想具体分析清楚蜜蜂的飞行过程，分段算出路程，再算出路程之和。而本题如果从整体的角度分析，就会非常简单。 路程=速度×时间，这是求路程最根本的公式。 本题蜜蜂速度不变，始终是每小时100英里，并且蜜蜂回头转身的时间忽略不计。所以关键就是求出蜜蜂飞行的时间！而蜜蜂飞行始于火车出发，止于火车相遇，所以蜜蜂飞行的时间就是火车相遇的时间。 火车相遇时间：100÷（50+50）=1小时； 蜜蜂路程：100×1=100英里。 学案4：李明和王亮同时从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距距全程中点3千米，问全程长多少千米？ 分析与答：路程和=速度和×相遇时间，关键是求相遇时间。 李明比一半多3千米，王亮比一半少3千米， 相遇时李明比王亮多走了3×2=6千米（易错！） 每小时多走18‐16=2千米， 相遇时间为6÷2=3小时； 全程：（18+16）×3=102千米。 例8：大头儿子的家距学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟多少米？ 分析与答：速度和=路程和÷相遇时间=3000÷50=60米/分， 速度差已知为24米/分， 为和差问题，爸爸速度：（60+24）÷2，儿子速度：（60‐24）÷2=18/分 2011春季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 （二）追及问题： 补充题：大头儿子步行上学，每分钟走70米，离家12分钟后，小头爸爸发现文具盒落在家中，小头爸爸带着文具盒，立即以每分钟280米得速度追大头儿子，问几分钟后追上？追上时离家多远？ 分析与答：追及时间=路程差÷速度差，关键是求路程差。 儿子出发12分钟走的路程就是路程差：70×12=840米 追及时间：840÷（280‐70）=4分钟。