数学中的变形技巧及其应用

学号2009211218分类号O12本科生毕业论文（设计）题目：数学中的变形技巧及其应用院（系）数学与统计系专业班级数学与应用数学XX级X班学生姓名XXX指导教师（职称）XXX提交时间二○一三年五月II数学中的变形技巧及其应用XXX（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）摘要许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间内快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经验与方法.本文主要介绍数学中一些常用的变形技巧，给出了这些技巧在解数学问题中的应用.关键词数学变形技巧应用IIIIDeformationtechniqueanditsapplicationinmathematicsXxxxxxWANG（Departmentofmathematicsandstatistics,AnkangUniversity,AnkangShaanxi,725000)AbstractManymathematicalproblemsaredifficulttosolve,theyoftenneedcertainskills.Inordertosolvemathproblemsinthelimitedtimequicklyandaccurately,wemustadoptsomemethodsandskills.Thenwemustobservecarefullyandaccumulatesomeexperienceandmethodsintheusuallearningprocess.Thispapermainlyintroducessomedeformationtechniquescommonlyusedinmathematics.Keywordsmathematicsdeformationtechniqueapplication目录摘要..............................................................IAbstract...........................................................II前言...............................................................11.数学中的一般变形技巧..............................................21.1一元二次方程的变形技巧.......................................21.2三角函数的变形技巧...........................................41.3“0”的变形技巧..............................................71.4“1”的变形技巧..............................................92.最值问题的常用变形技巧...........................................112.1配方法......................................................122.2换元法......................................................132.3判别式法....................................................132.4不等式法....................................................143.运用均值不等式解题的变形技巧.....................................153.1拆项........................................................153.2拆幂........................................................153.3升幂........................................................163.4整体代换....................................................163.5平衡系数....................................................173.6分离取倒数..................................................17结束语.............................................................19参考文献...........................................................20致谢.............................................................211前言数学是一个有机整体，各个部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个个相互交错的立体空间.因此为了培养学生在数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力以及综合应用数学知识分析、解决实际问题的能力，我们应该对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并且有意识地运用一些数学方法去解决问题，这样才能够使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.数学中的变形与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富.近几年来，中学数学考试中的考题越来越新颖，尤其是在中考，高考的试题中，要使考生在短短的两个小时之内完成所有的试题，这对大部分考生来说是非常困难的，而且有些试题的技巧性非常强，做起来有一定的难度，考生如果用常规的方法解决，这不仅会浪费很多时间，而且最后还可能得不到正确答案.所以我们有必要针对一些题采取正确的解题技巧，即对它们作一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，同时增加了我们解题的信心，还提高了我们对数学学习的兴趣.针对以上问题，本文主要总结归纳了数学中的一些变形技巧，通过例题的方式给出这些变形技巧及具体应用.21.数学中的一般变形技巧在数学中什么是变形？它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能技巧性知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.也就是说它存在着一定的技巧和方法，只有我们在学习数学的实践中反复操作才能掌握，以至于灵活运用.如勾股定理可表述为222cab，也可表述222222,acbbca为等.18?8若问，这显然是一个不屑回答的问题，1?但若问就成了最富灵活性的问题，111例如或2222sincos1,sectan1,tancot1.可见“变形”确实是一个内涵十分丰富的概念，在一些著名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是非重要的一个环节.有时我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无固定的模式或规则，一个式子常常有多种可能的变形，因题而异，技巧性非常强.现在我们来看一下一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望这几方面的变形应用的介绍，对其他题的变形能起到抛砖引玉的作用.下面我们就来谈谈这几种变形技巧的应用.1.1一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题“化繁为简”.下面举例说明：例124,31033.xx已知是方程的两根，求的值解：22231031031xx是方程的根即422(31)9619(31)613310则，43333103333()10所以，2,3103xx又是方程的两根433109分析：如果,要求出的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变3形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率，以至于节省时间.例22,30070mnxx若是一元二次方程的两个根，求22(2996)(3018).mmnn的值解：由题意得：2230070,30070mmnn300,56mnmn而且(韦达定理），22(2996)(3018)mmnn22(30071)(30071)mmmnnn(1)(1)()1563001243mnmnmn分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决..mn不必求出和的值例3设实数mn、分别满足2219991099190mmnn，并且1mn，41.mnmn求的值解：由题设可得：2299(191)99(19)mmnn，2219119mmnn两式相除，得.221919mnmmnn由比例的基本性质，得，22191919(1)(1)mnmmnnmmnnmn整理得即119mnnm因为，所以，2411941(191)499495519191919mnmmmmmmmmmnmmmm分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件422199910,99190,mmnn进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.总结：在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所求的式子，观察他们之间有什么特点与联系，然后再充分利用已知条件来解决所求的问题.特别是要灵活运用韦达定理：12,xx即若为一元二次方程20(0)axbxca的两个根，1212,.bcxxxxaa则在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手，关键是要善于观察所求式子的特点进而合理适当地变形，使所求问题得到解决.以上三道题都是由问题入手，对已知条件做适当的变形，进而应用韦达定理来解决所求问题.1.2三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，其与二次函数、初等几何的关系十分密切.特别是“给出已知条件，求三角函数的值”的问题，求三角函数的值的关键即合理地进行三角恒等变形，其最基本的思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代数的变形技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例422tan56sin8sincos7cos.已知，求的值22226sin8sincos7cossincos解：原式2222222226sin8sincos7coscoscoscossincoscoscos226tan8tan7tan122658571035126分析：除了这里的221sincos外，还有以下等式也经常用到：522221tancot,1sectan,1csccot,1tan,1sin,1cos,42灵活运用这些等式，能使许多三角函数问题得到简化.例5ABC在中，已知角A、B、C成等差数列，3tantan3tantan2222ACAC求的值.180ABCABC解：因为角、、成等差数列且120,60tan322ACACACtantan2231tantan22ACAC由两角和的正切公式，得tantan33tantan2222