结构动力学4

结构动力学结构力学土木工程与力学学院2010年3月（Ⅱ）授课内容13.2单自由度体系的自由振动13.6一般多自由度体系的自由振动13.1动力计算的特点和动力自由度13.5两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动13.7多自由度体系在任意荷载下的强迫振动13.8计算频率的近似法13.3单自由度体系的强迫振动13.4两个自由度体系的自由振动0myky原方程：0kyym2()km令：通解为：12()sincosytCtCt由初始条件：020(0)yyCy001(0)vyvC00()cossinvytytt解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t0v0v13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答化成单项三角函数的形式:解又可表达为：将其展开：()sincoscossinytatat00()cossinvytytt相比较得：0sinya0cosva22100020tanvyayv()sin()ytat则：振幅T0y(t)taa0y自由振动总位移：初始相位角13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3结构的自振周期和自振频率()sin()ytat由式:可知时间经后，质量完成了一个振动周期。2T用T表示周期，周期函数的条件:y(t+T)=y(t)12fT1)自振周期计算公式：2mTk2m2Wg2stg2)自振频率计算公式：1stkggmmW秒内的振动次数2用表示圆频率：用表示频率：每秒钟内的振动次数f13.2.3结构的自振周期和自振频率3)自振周期和频率的讨论2mTk2m2Wg2stg①ω和T只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；③ω和T是结构动力特性的重要参数。②T与质量成正比，质量越大，周期越大；与刚度成反比，刚度越大，周期越小。要改变ω和T，只能改变质量和刚度。1stkggmmW泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒由式()sin()ytAt可得，加速度为：2()sin()ytAt2()()sin()ItmytmAt无阻尼自由振动的位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且同步、同相、同达幅值。当1)sin(t时，其幅值分别为：yA2yA2ImA在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时刻也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。惯性力为：——位移（位移幅值）（加速度幅值）（惯性力幅值）4)简谐自由振动的特性[例13.1]求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl/2l/21Pl/4解：为求柔度系数，在质点上加单位力1（图乘法）348lEI32248mlTmEI[思考]比较图示结构的自振频率348EIlml/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(b)(c)(a)(b)(c)13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.2]图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。W解:让振动质量向下单位位移需施加的力为：3112109.844.2760kkgsmWk=czA=0.6×103×20=12×103kN/m自振频率为：13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.3]如图所示简支梁，将一重为W的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。hyyystW解:自由落体后，梁以一定的初速度上下作自由振动，其振动平衡位置为yst。sin()yAt设：其中：stgy22002100tanvAyyv振幅：初始相位角：初始条件：002styyyghststyW13.2.3结构的自振周期和自振频率1.例如设:则0.4,10stycmhcm98049.5/0.4stgradsy20.42100.42.86Acm0.4()0.1410.14210arctgarctgrad则振动规律为：2.86sin(49.50.14)yt具体例子比较:13.2.3结构的自振周期和自振频率h0.4stAycm()2arctg0.4sin(49.5)2yt13.2.3结构的自振周期和自振频率2.如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地放置在梁中点，求该系统的振动规律。98049.5/0.4stgradsyststyW2.86sin(49.50.14)yt比较结果可知，h＝10cm时的振幅位移是h＝0的7倍则振动规律为：[1]求结构的自振频率。LL/2EIk作业LEIEIEILmm[2]列出图示结构的运动方程并求图示结构的自振频率。kEI2mL/2L/3L/2m[3]求结构的自振频率。思考题P286页13-1，13-2，13-4，13-5，13-6，13-7作业[13-1]结构静力计算和动力计算的主要区别是什么？[13-2]结构静力自由度和动力自由度的概念有何异同？[13-4]在建立振动方程时，如考虑重力的影响，动位移的方程有无改变？[13-6]为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构那些固有量有关？[13-7]为了计算自由振动是质点在任意时刻的位移，除了要知道质点的初始速度之外，它还需要知道些什么？[1]求图示结构的自振频率。LL/2EIkL/2kP=1M1图31313L33()22222222222984LLLLLLEIkLEIk解：画M1图；由M1图求得；由求得。3/2319(84LmEIk13.2.3结构的自振周期和自振频率[例3]求图示结构的频率。解1：是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。342EImL311212()22223222324LLLLLLLEIEILEIEIEILmmM图L/2P=1/22L/2EIEIEI13.2.3结构的自振周期和自振频率P=1[2]列出图示结构的运动方程。kEI2mL/2L/3L/2m12my2my1k2()t解：是单自由度体系。以建立位移方程。()t1122()(2)()tmymyP=1k121/2P=1k124/3k121/L112L243L12Ly243Ly14441()(2)()223318LLtmmmLL13.2.3结构的自振周期和自振频率M=1有机玻璃模型的自由振动记录铝质模型的自由振动记录13.2.4阻尼对自由振动的影响13.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼0y(t)taamky=0c2)考虑阻尼阻尼是客观存在的振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。（1）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力（2）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼——称为阻尼系数CyctFRy(t)mykymykmccy有阻尼模型建立动平衡方程0mycyky标准化得:km0ckyyymm其中:二阶常微分方程可变为：220yyy设特解为：tyCe特征方程为：222013.2.4阻尼对自由振动的影响一、有阻尼的自由振动微分方程的解与相应特征方程的根有关2121、根为＝－－1.振动方程rccmc2——称为阻尼比——临界阻尼系数rc111、、rcrc小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动2.讨论根的三种情况——称为阻尼比,是体系的一种特性，它取决于体系的质量和刚度——阻尼系数是在自由振动一个循环中能量耗散的一种测度。Crc——临界阻尼系数是完全抑制振荡的C的最小值。象征着震与不能震荡之间的分界线。111、、121r（1）令：则代数方程解：2.讨论根的三种情况2121、根为＝－－2121i、r令为——（复根）(低阻尼体系的自振圆频率)一般建筑物ξ很小，约0.01～0.1。像我们感兴趣的房屋、桥梁、水坝、核电站、海洋结构等都属这一类；r汽车减震系统，阻尼通常小于临界阻尼的一半ξ＜0.5则微分方程通解为：12cossintrryeCtCt000[cossin]trrryyeytt220000200()sin(),trrrvyyyeataytgvy，也可:tyyktyaeyk+1tkT1)振幅逐渐衰减；实部初始条件虚部13.2.4阻尼对自由振动的影响▲特点：2)振幅呈等比级数递减讨论:阻尼对自由振动的影响图中显示无阻尼ξ=0和有阻尼ξ=0.05的单自由度体系的自由振动反应。无阻尼体系在所有振动周期内的位移幅值是相同的，有阻尼体系则随着每个振动周期衰减的振幅振荡。()1kktTTktkyaeeyae常数表明振幅随时间按指数衰减1)阻尼振幅对的影响讨论:阻尼对固有振动蘋率的影响3）阻尼对自由振动衰减速率的影响如图右2)阻尼对自振频率的影响当ξ0.2,则0.96ωr/ω1在工程结构问题中0.01ξ0.1此时，阻尼的影响可以忽略。具有四种阻尼水平体系的自由振动21rr3两个连续峰值之比与阻尼比之间的关系振幅为随时间衰减相邻两个振幅的比。tae()1kktTTktkyaeeyae常数13.2.4阻尼对自由振动的影响2ln1kkyy12lnkkryTy对数递减率：4阻尼比的测定对数递减率：0.21r当，则1111lnln22kkrkkyyyy13.2.4阻尼对自由振动的影响对数衰减率与阻尼比之间的精确和近似关系2112lnkkyy2有机玻璃模型的自由振动记录13.2.4阻尼对自由振动的影响4阻尼比的测定对于实际结构解析确定阻尼比ξ是不可能的，所以这个难以理解的特性将由试验确定。前面我们介绍了两个单层模型上这种试验的自由振动记录11ln21jyyn对于弱阻尼体系或设yk和yk+n相隔n个周期，则：1ln2kknyny13.2.4阻尼对自由振动的影响110.11t0396.0076.0915.0ln1021ln2111ggyynj110.11t利用图示有机玻璃框架模型的自由振动加速度记录，是确定其固有周期和阻