高等数学第二章导数与微分

第2章导数与微分本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则;导数的应用本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。2.1导数的概念2.2初等函数的导数与求导法则2.4函数的微分及其应用2.3中值定理与导数的应用'()dyfxdx第2章导数与微分2.1.1两个实例2.1.2导数的定义2.1.4函数的可导性与连续性的关系2.1导数的概念2.1.3导数的几何意义1、变速直线运动的速度设一质点在t轴上从某一点开始作变速直线运动，已知运动方程为s=s(t).记t=t0时质点的位置坐标为s0=s(t0).当t从t0增加到t0＋∆t时，s相应地在∆t这段时间内的位移为2.1.1两个实例00()()stttss，00()().ssttstvtt而在∆t时间内质点的平均速度为随着∆t的减小，平均速度就愈接近质点在时刻vt0的瞬时速度(简称速度).但无论∆t取得怎样小，平均速度总不能精确刻画质点在时刻t=t0的运动变化率。00()().ststtt0000()()limlimttsstttvtt采取“极限”的手段：如果平均速度时的极限存在，0t,svt当则自然地把此极限(记为v)定义为质点在t=t0时的瞬时速度或速度:该极限值就是t0时刻的瞬时速度v（t0）。0vt2、曲线的切线斜率00()Pxxyy，，设曲线L的方程为000()()yfxPxy，，为L上的一个定点.点P0的切线，可在曲线上取邻近于P0的点割线P0P的斜率:xyO()yfx0x0yxyy0PP为求曲线y=f(x)在00()()tanyfxxfxxx，算出割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置线P0P的极限位置00tan()()yxfxxfxx，即为点P0处的切线。0x当时，割xyO()yfx0x0yxyy0PP2、曲线的切线斜率00000()(limtanlimlimtanxxxfxxfxyxx）割线的斜率就会无限接近切线的斜率tan,tan变速直线运动的瞬时速度00000()()limlimttsstttvttt曲线的切线斜率0000()(tanlimlimxxfxxfxyxx）导数定义2-10000()()limlimxxfxxfxyxx0'xxy，0,xxdydx0.xxdfdx存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0的导数，记作0()fx，设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.若极限或2.1.2导数的定义注100000()()()limlim.xxxfxfxyfxxxx注2注3若极限不存在，则称f(x)在x0不可导.若0limxyx，则称f(x)在x0的导数为无穷大.若令0xxx，当0x时，0xx，此即说明导数也可简述为差商的极限.00000()()limlimttsstttvttt曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率0000tanlim()(limxxyxfxxfxx）运动方程为s=s(t)在时刻t0的瞬时速度0st0fx0limxyx－设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.若极限存在，则称y=f(x)在点x0左可导，且称此极限值为函数y=f(x)在点x0的左导数，0().fx左右导数记作00()().fxfx0()fx存在f(x)在x0可导的充要条件是：f(x)在x0既左可导又右可导，且即00()().fxfx存在0().fx同样可定义右导数：导函数的概念若函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，则称f(x)在I内可导.此时对,xI有导数()fx与之对应，从而在I内确定了一个新的函数，称为y=f(x)的导函数，简称导数，记为()fx，dydx，().dfxdx.)()(lim)('0Ixxxfxxfxfx，此时导函数（简称导数）定义为.)(')('00xxxfxf0()fx可以看作导函数()fx在x0的函数值，即注00'()'()fxfx、区分下面两组符号:表示导函数00()()fxfx、表示在x0点的左、右导数；()fx在x0点的左、右极限.根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1解：1()()0,yfxxfxcc03lim0.xyx()'0.c求常值函数c的导数.所以020yxx常值函数y=f(x)=c证明：例2001()limlimxxxxxxxxaaaaaxx由导数定义得证明()lnxxaaa(a0,a≠1为常数）即()lnxxaaa1001limlimlog(1)log(1)xxttatataattxx（e）=e1lnlogxxaaaae1xat例3证明：nnxxxy)(122(1)()(),2nnnnnnxxxxx12100(1)limlim()()2nnnxxynnnxxxxx.1nnx1()'nnxnx1()'(0)xxxR，证明1()'nnxnxn，为正整数.nyx，令则即由二项式定理例4已知sin0()0xxfxxx，，，().fx解：()(sin)fxx.cos)2cos(2sin2lim0xxxxxx()()fxxxxxxxsin)sin(lim0公式1(),1xx求（1）当x0时，（2）当x0时，1.由导数定义.010cos)('xxxxf，，'(0)1f，，10lim)0('0xxfx，10sinlim)0('0xxfx（3）x=0时，由于所以于是得左右导数相等2.1.3导数的几何意义.tandxdykoxbxkyxy函数y=f(x)的在x0处的导数即为曲线C:y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率。即曲线y=f(x)切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy11(,2)2,.yx求等边双曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程例5由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk121xx2121xx.4切线方程为法线方程为124,2yx112,42yx.044yx即.01582yx即解：证明：2.1.4函数的可导性与连续性的关系0000()()lim()xxfxfxfxxx，000000()()lim[()()]lim()xxxxfxfxfxfxxxxx000000()()limlim()()00.xxxxfxfxxxfxxx（1）若f(x)在x0点可导，则它在x0点必连续.f(x)在x0点可导，则则有所以f(x)在x0点连续.反例：，1lim)0('0xxfx，)0(')0('ff（2）若f(x)在x0点连续，则它在x0点未必可导.f(x)=|x|在点x0＝0处连续但不可导.一方面00limlim0xxyx，所以f(x)在x0点连续.另一方面0'(0)lim1xxfx所以f(x)在x0点不可导.导数的概念小结2.1.1两个实例2.1.2导数的定义2.1.4函数的可导性与连续性的关系2.1.3导数的几何意义变速直线运动的瞬时速度00000()()limlimttsstttvttt曲线的切线斜率0000()(tanlimlimxxfxxfxyxx）导数的本质2.1.1两个实例物理意义几何意义定义2-10000()()limlimxxfxxfxyxx0'xxy，0,xxdydx0.xxdfdx存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0的导数，记作0()fx，设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.若极限或2.1.2导数的定义注100000()()()limlim.xxxfxfxyfxxxx注2注3若极限不存在，则称f(x)在x0不可导.若0limxyx，则称f(x)在x0的导数为无穷大.若令0xxx，当0x时，0xx，.)()(lim)(0000hxfhxfxfh导数定义其它常见形式：0limxyx－设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义.若极限存在，则称y=f(x)在点x0左可导，且称此极限值为函数y=f(x)在点x0的左导数，0().fx左右导数记作00()().fxfx0()fx存在f(x)在x0可导的充要条件是：f(x)在x0既左可导又右可导，且即00()().fxfx存在0().fx同样可定义右导数：导函数的概念若函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，则称f(x)在I内可导.此时对,xI有导数()fx与之对应，从而在I内确定了一个新的函数，称为y=f(x)的导函数，简称导数，记为()fx，dydx，().dfxdx.)(')('00xxxfxf0()fx可以看作导函数()fx在x0的函数值，即.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x00()()fxxfxx000()()limxfxxfxx平均变化率瞬时变化率根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限()lnxxaaaxx（e）=e()'0.c1()'(0)xxxR，.tandxdykoxbxkyxy函数y=f(x)的在x0处的导数即为曲线C:y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率。即曲线y=f(x)切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy2.1.3导数的几何意义2.1.4函数的可导性与连续性的关系（1）若f(x)在x0点可导，则它在x0点必连续.（1）若f(x)在x0点可导，则它在x0点必连续.（2）若f(x)在x0点连续，则它在x0点不一定可导.P58习题21,3作业2.1.2函数四则运算的求导法则2.1.3反函数的求导法则2.1.6隐函数的求导法2.1.1几个基本初等函数的导数2.1.4复合函数的求导法则2.1.7对数求导法2.1.8高阶导数2.1.5基本初等函数的求导公式2.2初等函数的导数与求导法则例1解：()()0,yfxxfxcc.0lim0xydxdyx()'0.c求常值函数c的导数.对于常值函数f(x)=c的导数.恒有从而有即2.1.1几个基本初等函数的导数证明：例20()limxxxxxaaax