高等数学第六版上下册(同济大学出版社)

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限目录上页下页返回结束第一章二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数目录上页下页返回结束元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.Ma(或Ma)..Ma注:M为数集*M表示M中排除0的集;M表示M中排除0与负数的集.简称集简称元目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合naaaA,,,21niia1自然数集,,,2,1,0nNn(2)描述法：xMx所具有的特征例:整数集合ZxNx或Nx有理数集qpQ,,NZqpp与q互质实数集合Rxx为有理数或无理数开区间),(xbabxa闭区间],[xbabxa目录上页下页返回结束)(aa无限区间点的邻域a其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A.BA若且则称A与B相等,.BA例如,显然有下列关系:,,若Ax,Bx设有集合,,BA记作记作必有目录上页下页返回结束OyxAcABB定义3.给定两个集合A,B,并集xBA交集xBA且差集\xBABx且定义下列运算:ABBA余集)(\ABBABcA其中直积),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABA\BBABA或目录上页下页返回结束二、映射某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.目录上页下页返回结束引例2.引例3.(点集)(点集)向y轴投影目录上页下页返回结束定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集)(XfRfXxxf)(称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.XYf目录上页下页返回结束对映射若YXf)(,则称f为满射;XYf)(Xf若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.XY引例2,3引例2引例2目录上页下页返回结束例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,r则有(满射)(满射)目录上页下页返回结束X(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)ff称为X上的泛函X(≠)Xff称为X上的变换Rff称为定义在X上的函数映射又称为算子.名称.例如,目录上页下页返回结束定义域三、函数1.函数的概念定义5.设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,记为Dxxfy,)(称为值域函数图形:),(yxCDx,)(xfy)(DfD自变量因变量xy)],[(baDabxyODxxfyyDfRf),()(目录上页下页返回结束DxfDxxfyyDfRyf),()((对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值•定义域•对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；Oy211x2目录上页下页返回结束例4.已知函数1,110,2)(xxxxxfy解:)(21f及.)(1tf写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域),0[D值域),0[)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy11目录上页下页返回结束2.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明:还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I上有界.,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.称为有上界称为有下界,)(,Mxf),(,xfM当时，2121,,xxIxx,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;单调减函数.1x2xxyO(见P11)目录上页下页返回结束(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,xyOxx则当必有例如,2ee)(xxxfyxch偶函数xyOxexexych双曲余弦记目录上页下页返回结束又如,奇函数xsh双曲正弦记再如,xxychsh奇函数xth双曲正切记说明:给定),(),(llxxf则2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数奇函数Oyx11xythxyOxexexysh2ee)(xxxfyxxxxeeee目录上页下页返回结束(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,ππxOπ2πy2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄利克雷函数x为有理数x为无理数,1,0目录上页下页返回结束3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:使其中目录上页下页返回结束2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,exyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数xyO)(xfyxy),(abQ目录上页下页返回结束(2)复合函数fDuufy),(fgDR且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件fgDR不可少.例如,函数链:,arcsinuy但可定义复合函数21xu时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数]1,1[,)1arcsin(2xxy当改目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:Zk02cot,2ππ2πxkxk时),2,1,0(π,cotkkvvu),(,2xxv约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.目录上页下页返回结束4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,,2xyy0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P20)目录上页下页返回结束非初等函数举例:符号函数当x0当x=0当x0xyO11取整函数当xyO412321目录上页下页返回结束设函数,1,1,13)(xxxxxf)]([xff1)(,1)(3xfxfx换为f(x)1)(,)(xfxf0x0,49xx1)13(3x10,13xx1,xx例5..)]([xff求解:目录上页下页返回结束例6.求y的反函数及其定义域.解:01x当时,2xy则]1,0(,yyx10x当时,xyln则]0,(,eyxy21x当时,1e2xy则]e2,2(,ln12yxy反函数y定义域为]e2,2(]1,(21,e210,ln01,12xxxxxx212e211,]1,0(,]0,(,]e2,2(yOx目录上页下页返回结束内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构作业P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;182.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束且备用题证明证:令,1xt则,1txtctfbfat)()(1由xcxfbfax)()(1消去),(1xf得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设目录上页下页返回结束2.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax均对称,求证)(xfy是周期函数.)(baby证:由)(xaf)(xf的对称性知),(xaf)(xbf)(xbf于是)(xf)2(xaf故)(xf是周期函数,周期为