高等数学第十一章习题课(一)

第十一章习题课（一）曲线积分部分重点掌握：1.第一类曲线积分的计算2.第二类曲线积分的计算LyyxQxyxPd),(d),(Lsyxfd),(3.应用一、基本内容曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxP联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算dtfdsyxfL22],[),(三代一定)(dtQPQdyPdxL]),(),([二代一定(与方向有关)LD区域D分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设闭区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,格林公式与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()3(xQyPD,)4(内在等价命题基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终“变量参数化，一小二起下”(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式求曲线积分（空间）（第七节）;(5)利用两类曲线积分的联系公式.基本技巧(1)如果曲线弧L关于y轴对称,且被积函数关于x为奇函数,则曲线积分为零.(2)如果曲线弧L关于y轴对称,且被积函数关于x为偶函数,则曲线积分为一半曲线上的积分的2倍.(3)如果曲线弧L关于x，y轴均对称,且被积函数关于x为偶函数,关于y为偶函数，则曲线积分为四分之一曲线的积分的4倍.第一类曲线积分的对称性定理：第二类曲线积分LQdyPdxIxQyPxQyP0LQdyPdxI),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线或用公式利用格林公式求解对坐标的曲线积分（1）适宜范围：①当平面曲线L封闭时，直接利用格林公式.但必须注意使用条件（L取正向边界，②若L不是封闭的，直接计算又困难，可以添加、yPxQ在闭区域D上连续，D上可以不是单连通域）辅助曲线C，使积分曲线封闭，从而利用格林公式，但须注意将所加曲线积分减去)(CCLL利用格林公式求解对坐标的曲线积分（2）注意：①利用格林公式将曲线积分化为二重积分时，应②若L是D的负向边界，则利用格林公式前，,LL特别注意两种积分计算的不同：曲线积分可以将L的表达式直接代入积分式，而二重积分却不能直接代入边界线方程.应先作变换再对积分L用格林公式.③带奇点的曲线积分的处理方法.yx说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;二、典型例题1.计算其中L为圆周提示:利用极坐标,dd22rrs原式=sxaLd说明:若用参数方程计算,xaoyrdat则tyxsd)()(d22解xxyxyyP2)2(2知xyxxxQ2)(42,xQyP即104102)1(dyydxx故原式.1523xyo11AdyyxdxxyxI)()2(422由2计算LdyyxdxxyxI)()2(422,其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线xy2sin.例3.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法1令,,22xyQyxP则这说明积分与路径无关,故yxyxyxIABd)(d)(22aaxxd2a为半径的上半圆周.解法2,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d)(2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d)(2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxyd2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a32a0:t332aICoyxABLDP2476.设在右半平面x0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令33,ykQxkP易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为P24711.求力沿有向闭曲线所作的功,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三提示:BAzyxCoABzxyzxyddd3ABzxd310d)1(3zz方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,方法2利用斯托克斯公式（见第七节）