高等数学级数教学ppt

下页上页返回第十一章级数第一节无穷级数的概念及性质下页上页返回nuuuu321nkknnuuuuS1212部分和：、,11uS,212uuS,3213uuuS,21nnuuuS则称和是一给定的数列，设无穷级数：、}{1nu，记为1nnu即：对应一个部分和数列，给定级数显然，},{1nnnSu.项称为级数的一般项或通而nu,nnnuuuuu3211即　　　.为无穷级数.称为无穷级数的部分和无穷级数的收敛与发散一、下页上页返回，存在极限的部分和数列若级数SSunnn}{11收敛，则称级数nnu，即SSnnlim记为称为该级数的和，且极限S.211Suuuunnn.1发散则称级数nnunnSSr21nnuu1nkku级数收敛：、3级数发散：、4余项：、5则称收敛，设级数1nnu不存在，若极限nnSlim.lim1存在收敛级数说明：nnnnSu.lim1不存在发散级数nnnnSu.1的余项为级数nnu下页上页返回且，产生的误差为代替和这时用nnrSS.0)(limlimSSSSrnnnnnnSSr21nnuu1nkku余项：、5则称收敛，设级数1nnu.1的余项为级数nnu.lim1存在收敛级数说明：nnnnSu.lim1不存在发散级数nnnnSu下页上页返回)1(1321211nnSn解：1113121211nn)111(limlimnSnnn，111n.1.1S且和.)1(1321211)1(111若收敛求其和的敛散性，判断、例nnnnn收敛，故1)1(1nnn下页上页返回12nnaqaqaqaS解：.11)1(时当，qqqan1时，当q，qaSnn1lim时，当1q，nnSlim收敛，故级数11nnaq.11发散故级数nnaq.1qa且和为.)0()(21211的敛散性几何级数讨论等比级数、例aaqaqaqaaqnnn,1时当q不存在，nnSlim.12,2,0knaknSn，时当，1qna时，当1q，nnSlim.11发散故级数nnaq下页上页返回.11发散故级数nnaq.11发散级数nnaq时，因此当1q收敛；级数11nnaq时，当1q时，当1q，nnSlim收敛，故级数11nnaq.11发散故级数nnaq.1qa且和为,1时当q不存在，nnSlim.12,2,0knaknSn，时，当1q，nnSlim.11发散故级数nnaq.)0()(21211的敛散性几何级数讨论等比级数、例aaqaqaqaaqnnn下页上页返回级数的基本性质二、，、的部分和分别为、设级数证：nnnnnnSkuu11nnkukuku21则)(limlimnnnnkSnnSklim.kS.1kSkunn且和为收敛，故级数,)(2111SvuSvunnnnnnn且其和为也收敛，则级数，、收敛且和为、设级数、，且和为收敛，则级数，收敛且和为设级数、kSkuSunnnn111,nkS)(21nuuuk.011的敛散性相同与级数时，当说明：nnnnkuuk.11nnnnukku即.)(111nnnnnnnvuvu即.11nnnnukku即下页上页返回，、的部分和分别为、设级数证：nnnnnnSvu11.111kSkuSunnnn且和为收敛，则级数，收敛于设级数、)(1的部分和为则级数nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu)()(2121nnvvvuuu，nnS)(limlimnnnnnS.S.)(1Svunnn收敛且和为故级数的基本性质二、,)(2111SvuSvunnnnnnn且其和为也收敛，则级数，、收敛且和为、设级数、.)(111nnnnnnnvuvu即.)(111nnnnnnnvuvu即下页上页返回.111kSkuSunnnn且和为收敛，则级数，收敛于设级数、.逐项相减收敛级数可逐项相加与说明：成的级数一定发散吗？两个发散级数通项和构问题：.不一定发散答案：都发散，、等比级数例如、111)1()1(nnnn.])1()1[(11收敛但级数nnn散吗？项和构成的级数一定发收敛级数与发散级数通问题：.一定发散答案：级数的基本性质二、,)(2111SvuSvunnnnnnn且其和为也收敛，则级数，、收敛且和为、设级数、.)(111nnnnnnnvuvu即下页上页返回.3其和一般是改变的但在收敛时，的敛散性，不改变级数项，增加或改变级数的有限去掉、、)2()1(21121nkkknkkkuuukuuuuu项得到级数去掉前面设级数证：nkkknuuu21则，，记Ssnknnnlimlim.kSS则，knkSS.}{}{同时收敛或同时发散与数列时，故当nnkSn，、的部分和分别为、设级数nnS)2()1(.其和一般会改变故收敛时，级数的基本性质二、.不改变级数的敛散性即去掉级数的有限项，.成立同理可证其他两种情况下页上页返回.3其和一般是改变的但在收敛时，的敛散性，不改变级数项，增加或改变级数的有限去掉、、)1(211nnnuuuu证：设级数nnnnS2limlim故,63S,,2nnS.S.,4且其和不变级数仍收敛收敛级数加括弧后所得、)2()()()(654321uuuuuu进行如下加括弧：,21S则,42S，、的部分和分别为、设级数nnS)2()1(，且其和为收敛，级数S)2(.即其和不变.级数未必收敛收敛级数去括弧后所得说明：级数的基本性质二、下页上页返回.,4且其和不变级数仍收敛收敛级数加括弧后所得、级数的基本性质二、)11()11()11(1n例如、11)1(1111nn但收敛发散.则原级数发散级数发散，设级数加括弧后所得的推论：.级数未必收敛收敛级数去括弧后所得说明：设原级数收敛，证：加括弧得到一级数，则按照已知条件的方式得该级数收敛，由性质4.与已知矛盾.故原级数发散级数收敛的必要条件三、.0lim1nnnnuu则收敛，设级数下页上页返回，的部分和为证：设级数nnnSu1，因为1nnnSSu)(limlim1nnnnnSSu所以SS.0.13221131的敛散性判断级数、例nnnnn,limSSnn且1limlimnnnnSS1limlimnnunnn解：1，0.11发散级数nnn级数收敛的必要条件三、.0lim11nnnnuu则收敛，设级数必要条件：、.0lim21发散则级数，设推论：、nnnnuau.断级数发散的方法上述推论给出了一个判说明：下页上页返回，显然01limlimnunnn,13121111nnn调和级数例如，.11发散但级数nn，且其和为收敛，假设事实上，Snn11.为部分和其中nS，则SSnnlim，SSnn2lim.0)(lim2SSSSnnn级数收敛的必要条件三、.0lim11nnnnuu则收敛，设级数必要条件：、.0lim1收敛级数由说明：nnnnuu下页上页返回，显然01limlimnunnn,13121111nnn调和级数例如，.11发散但级数nn，SSnn2lim.0)(lim2SSSSnnn级数收敛的必要条件三、.0lim11nnnnuu则收敛，设级数必要条件：、.0lim1收敛级数由说明：nnnnuunnnSSnn2121112又nnn212121，021)(lim2nnnSS.)1(矛盾与.21)1(.11发散故级数nn下页上页返回第十一章级数第二节正项级数的审敛法下页上页返回有界部分和数列收敛正项级数}{1nnnSu收敛，设”“证1:nnu.}{有界nS,}{单调增加nS收敛，}{nS.1收敛故正项级数nnu.011为正项级数则称级数，设正项级数：、nnnuu收敛，则数列}{nS有界，”设“}{nS，0nu，nnSS1.!111的敛散性判断级数、例nnnn211!1解：2211要条件正项级数收敛的充分必、2!1!21!11nSn，121n下页上页返回.011为正项级数则称级数，设正项级数：、nnnuu.!111的敛散性判断级数、例nnnn211!1解：2211要条件正项级数收敛的充分必、2!1!21!11nSn，121n!1!21!11nSn有界，得由}{0nnSS121211n1212n.2211211n.!11收敛因此级数nn上述解题主要是利用：，1)21(!1nn11.)21(nn收敛而下页上页返回，、的部分和分别为、设证：nnnnnnSvu11.1收敛故nnu，且均为正项级数，和设nnnnnnvuvu11也收敛；则收敛，若11)1(nnnnuv.)2(11也发散则发散，若nnnnvu收敛，若1)1(nnv，MSn.11nnkknkknvuS则，则Mn发散，若1)2(nnu.1发散故nnv无界，}{n无界，则}{nS比较判别法、3下页上页返回，且均为正项级数，和设nnnnnnvuvu11也收敛；则收敛，若11)1(nnnnuv.)2(11也发散则发散，若nnnnvu比较判别法、3.)()1(””可改为““Nnvuvunnnn.(3)11未必收敛收敛时，当nnnnvu.)4(11未必发散发散时，当nnnnuv几点说明：.)0()2(””可改为““ccvuvunnnn下页上页返回时，解：当1p，因为nnp11.11发散级数故npnp时，当1poyx)1(1pxyp1234，有时，，当ppxnnnx11]1[pppnnS131211dxxdxxnnpp121111dxxnp111npxp11111，111p发散，又11nn.121的敛散性级数判断、例npnpdxnnnnpp111)11(1111pnp.111nnpp时，当.11dxxnnp下页上